(Concóide de Nicomedes) Seja uma reta fixa (diretriz) e um ponto fixo. Sejam o pé da perpendicular a passando por e uma semi-reta com origem cortando no ponto . A partir desse ponto, marquemos um ponto sobre com comprimento constante B P=b. O segmento B P pode ser tomado para a direita ou para a esquerda de B. A curva gerada por P quando t gira em torno de O denomina-se Concóide de Nicomedes ou concóide da reta.
(i) Encontre a equação polar da Concóide de Nicomedes.
Passo 1
Beleza, então o que a questão está pedindo é para encontrar a equação polar da Concóide de Nicomedes. A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, especialmente o estudo de curvas usando coordenadas polares. Vamos precisar entender como relacionar as medidas dadas no problema com a fórmula polar de uma curva.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar o que temos. Temos uma reta fixa d chamada de diretriz e um ponto fixo O. A partir de O, desenhamos uma perpendicular para d, que toca d no ponto A. Depois, temos uma semi-reta t que parte de O e corta d no ponto B.
Passo 3
Agora, escolhemos um ponto P na semi-reta t tal que a distância entre B e P seja constante, ou seja, BP = b. Esse ponto P vai se mover ao longo de t quando a semi-reta t gira em torno de O. A trajetória desse ponto P forma a Concóide de Nicomedes.
Passo 4
Vamos usar coordenadas polares para descrever essa situação. No sistema polar, qualquer ponto é definido por (r, theta), onde r é a distância do ponto até a origem O e theta é o ângulo que a linha que liga O ao ponto faz com a diretriz d.
Passo 5
O ponto B está na diretriz d e a distância entre O e B vamos chamar de a. Então, podemos dizer que a semi-reta t faz um ângulo theta com a diretriz d.
Passo 6
A distância entre O e P será a soma ou a subtração de a e b, dependendo de qual lado de B o ponto P está. Isso nos dá duas possibilidades: r = a + b ou r = a - b.
Passo 7
No entanto, para generalizar e obter a equação polar da curva inteira, podemos considerar que o ponto P está se movendo em todas as direções possíveis ao redor de O, fazendo com que theta varie de 0 a 2pi.
Passo 8
Isso resulta na equação polar da Concóide de Nicomedes, que relaciona r e theta de forma que cada ponto P na curva satisfaz a condição de estar a uma distância fixa b de um ponto B que está a uma distância a da origem O.
Resposta
A equação polar da Concóide de Nicomedes é dada por: