(Concóide de Nicomedes) Seja uma reta fixa (diretriz) e um ponto fixo. Sejam o pé da perpendicular a passando por e uma semi-reta com origem cortando no ponto . A partir desse ponto, marquemos um ponto sobre com comprimento constante . O segmento pode ser tomado para a direita ou para a esquerda de . A curva gerada por quando gira em torno de denomina-se Concóide de Nicomedes ou concóide da reta.
(i) Encontre a equação polar da Concóide de Nicomedes.
Passo 1
Beleza, então o que a questão está pedindo é para encontrar a equação polar da Concóide de Nicomedes. A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, especialmente o estudo de curvas usando coordenadas polares. Vamos precisar entender como relacionar as medidas dadas no problema com a fórmula polar de uma curva.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar o que temos. Temos uma reta fixa chamada de diretriz e um ponto fixo . A partir de , desenhamos uma perpendicular para , que toca no ponto . Depois, temos uma semi-reta que parte de e corta no ponto .
Passo 3
Agora, escolhemos um ponto na semi-reta tal que a distância entre e seja constante, ou seja, . Esse ponto vai se mover ao longo de quando a semi-reta gira em torno de . A trajetória desse ponto forma a Concóide de Nicomedes.
Passo 4
Vamos usar coordenadas polares para descrever essa situação. No sistema polar, qualquer ponto é definido por , onde é a distância do ponto até a origem e é o ângulo que a linha que liga ao ponto faz com a diretriz .
Passo 5
O ponto está na diretriz e a distância entre e vamos chamar de . Então, podemos dizer que a semi-reta faz um ângulo com a diretriz .
Passo 6
A distância entre e será a soma ou a subtração de e , dependendo de qual lado de o ponto está. Isso nos dá duas possibilidades: ou .
Passo 7
No entanto, para generalizar e obter a equação polar da curva inteira, podemos considerar que o ponto está se movendo em todas as direções possíveis ao redor de , fazendo com que varie de a .
Passo 8
Isso resulta na equação polar da Concóide de Nicomedes, que relaciona e de forma que cada ponto na curva satisfaz a condição de estar a uma distância fixa de um ponto que está a uma distância da origem .
Resposta
A equação polar da Concóide de Nicomedes é dada por: