As assíntotas de uma hipérbole
são perpendiculares e uma delas é paralela à reta
. Sabendo que
tem eixo focal horizontal e centro
, determine equação de
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma hipérbole
com algumas características:
- As assíntotas são perpendiculares.
- Uma das assíntotas é paralela à reta
. - O eixo focal é horizontal.
- O centro da hipérbole é
.
Para resolver, vamos precisar usar conceitos sobre equações de hipérboles, propriedades das assíntotas e a fórmula padrão da hipérbole com eixo horizontal.
Passo 2
Primeiro, como o eixo focal é horizontal, a equação padrão da hipérbole será:
Onde
é o centro da hipérbole. No nosso caso,
e
. Então, a equação fica:
Passo 3
Agora, vamos falar sobre as assíntotas. Para uma hipérbole com eixo horizontal, as equações das assíntotas são:
Substituindo
e
, temos:
Isso significa que as inclinações (coeficientes angulares) das assíntotas são
e
.
Passo 4
A questão diz que as ass��ntotas são perpendiculares. Para que duas retas sejam perpendiculares, o produto de suas inclinações deve ser
, ou seja:
Substituindo
e
:
Isso implica que:
Então,
.
Passo 5
Sabemos também que uma das assíntotas é paralela à reta
. Vamos encontrar a inclinação dessa reta. Reescrevendo na forma
, percebemos que a inclinação
.
Como uma das assíntotas da hipérbole tem a mesma inclinação, temos:
Mas já sabemos que
, então:
Portanto, a inclinação das assíntotas são
e
, confirmando que são perpendiculares.
Passo 6
Agora, podemos substituir
na equação da hipérbole:
Podemos simplificar escrevendo:
Passo 7
Para determinar o valor de
, precisamos de mais informações, mas a questão não fornece valores adicionais. No entanto, como o valor de
não está especificado, podemos deixar a equação em termos de
.
Passo 8
Mas, geralmente, a hipérbole pode ser representada assim quando
:
Ou simplificando:
Resposta
A equação da hipérbole
é:
Onde
é um número real positivo que determina a abertura da hipérbole.