As assíntotas de uma hipérbole H são perpendiculares e uma delas é paralela à reta r: x+y=0. Sabendo que H tem eixo focal horizontal e centro C=(1,-2), determine equação de H.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma hipérbole H com algumas características:
  • As assíntotas são perpendiculares.
  • Uma das assíntotas é paralela à reta r: x + y = 0.
  • O eixo focal é horizontal.
  • O centro da hipérbole é C = (1, -2).
Para resolver, vamos precisar usar conceitos sobre equações de hipérboles, propriedades das assíntotas e a fórmula padrão da hipérbole com eixo horizontal.

Passo 2

Primeiro, como o eixo focal é horizontal, a equação padrão da hipérbole será:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1
Onde (h, k) é o centro da hipérbole. No nosso caso, h = 1 e k = -2. Então, a equação fica:
(x - 1)^2a^2 - (y + 2)^2b^2 = 1

Passo 3

Agora, vamos falar sobre as assíntotas. Para uma hipérbole com eixo horizontal, as equações das assíntotas são:
y - k = pm ba(x - h)
Substituindo h e k, temos:
y + 2 = pm ba(x - 1)
Isso significa que as inclinações (coeficientes angulares) das assíntotas são m1 = ba e m2 = -ba.

Passo 4

A questão diz que as ass��ntotas são perpendiculares. Para que duas retas sejam perpendiculares, o produto de suas inclinações deve ser -1, ou seja:
m1 times m2 = -1
Substituindo m1 e m2:
ba times (-ba) = -b^2a^2 = -1
Isso implica que:
b^2a^2 = 1 Rightarrow b^2 = a^2
Então, b = a.

Passo 5

Sabemos também que uma das assíntotas é paralela à reta r: x + y = 0. Vamos encontrar a inclinação dessa reta. Reescrevendo na forma y = -x, percebemos que a inclinação mr = -1.
Como uma das assíntotas da hipérbole tem a mesma inclinação, temos:
ba = 1 ou ba = -1
Mas já sabemos que b = a, então:
aa = 1
Portanto, a inclinação das assíntotas são 1 e -1, confirmando que são perpendiculares.

Passo 6

Agora, podemos substituir b = a na equação da hipérbole:
(x - 1)^2a^2 - (y + 2)^2a^2 = 1
Podemos simplificar escrevendo:
(x - 1)^2 - (y + 2)^2a^2 = 1

Passo 7

Para determinar o valor de a, precisamos de mais informações, mas a questão não fornece valores adicionais. No entanto, como o valor de a não está especificado, podemos deixar a equação em termos de a.

Passo 8

Mas, geralmente, a hipérbole pode ser representada assim quando a = b:
(x - 1)^2a^2 - (y + 2)^2a^2 = 1
Ou simplificando:
(x - 1)^2 - (y + 2)^2 = a^2

Resposta

A equação da hipérbole H é:
(x - 1)^2a^2 - (y + 2)^2a^2 = 1
Onde a é um número real positivo que determina a abertura da hipérbole.

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