As assíntotas de uma hipérbole são perpendiculares e uma delas é paralela à reta . Sabendo que tem eixo focal horizontal e centro , determine equação de .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma hipérbole com algumas características:
  • As assíntotas são perpendiculares.
  • Uma das assíntotas é paralela à reta .
  • O eixo focal é horizontal.
  • O centro da hipérbole é .
Para resolver, vamos precisar usar conceitos sobre equações de hipérboles, propriedades das assíntotas e a fórmula padrão da hipérbole com eixo horizontal.

Passo 2

Primeiro, como o eixo focal é horizontal, a equação padrão da hipérbole será:
Onde é o centro da hipérbole. No nosso caso, e . Então, a equação fica:

Passo 3

Agora, vamos falar sobre as assíntotas. Para uma hipérbole com eixo horizontal, as equações das assíntotas são:
Substituindo e , temos:
Isso significa que as inclinações (coeficientes angulares) das assíntotas são e .

Passo 4

A questão diz que as ass��ntotas são perpendiculares. Para que duas retas sejam perpendiculares, o produto de suas inclinações deve ser , ou seja:
Substituindo e :
Isso implica que:
Então, .

Passo 5

Sabemos também que uma das assíntotas é paralela à reta . Vamos encontrar a inclinação dessa reta. Reescrevendo na forma , percebemos que a inclinação .
Como uma das assíntotas da hipérbole tem a mesma inclinação, temos:
Mas já sabemos que , então:
Portanto, a inclinação das assíntotas são e , confirmando que são perpendiculares.

Passo 6

Agora, podemos substituir na equação da hipérbole:
Podemos simplificar escrevendo:

Passo 7

Para determinar o valor de , precisamos de mais informações, mas a questão não fornece valores adicionais. No entanto, como o valor de não está especificado, podemos deixar a equação em termos de .

Passo 8

Mas, geralmente, a hipérbole pode ser representada assim quando :
Ou simplificando:

Resposta

A equação da hipérbole é:
Onde é um número real positivo que determina a abertura da hipérbole.

Exercícios relacionados

Em cada um dos seguintes itens, determine uma equação da hipérbole a partir dos elementos dados.
(1) focos e e comprimento do eixo transverso igual a 4,
(2) vértice e e comprimento do latus rectum igual a 5 ,
(3) focos e e comprimento do eixo conjugado igual a 24,
(4) centro , um dos focos e um dos vértices ,
(5) assintotas e e um dos vértices ,
(6) um dos focos , eixo normal e excentricidade ,
(7) eixo normal , uma das assintotas : e latus rectum de comprimento 3 ,
(8) focos e e parâmetro .
Sejam e . O conjunto é uma base de ?
Determine os extremos da corda focal da parábola , que é paralela à reta .
Sejam e subespaços de . Determine uma base e a dimensão para e .