Sejam e subespaços de . Determine uma base e a dimensão para e .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um espaço vetorial e dois subespaços dentro dele: , que é composto por todos os vetores onde a primeira coordenada é zero, e , que é gerado pelos vetores e . Nosso objetivo é encontrar uma base e a dimensão para cada um desses subespaços, assim como para a soma deles e para a interseção .
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de álgebra linear, como o que é uma base, o que significa a dimensão de um espaço vetorial, e como encontrar a soma e a interseção de subespaços. Vamos passo a passo para deixar tudo bem claro!
Passo 2
Vamos começar com . Esse subespaço é definido por todos os vetores em onde . Ou seja, qualquer vetor em tem a forma .
Para encontrar uma base para , precisamos encontrar um conjunto de vetores que sejam linearmente independentes e que gerem todo o subespaço . Olhando para a forma dos vetores, podemos notar que e são livres, ou seja, podem assumir qualquer valor real.
Então, podemos expressar qualquer vetor em como uma combinação linear de e . Esses dois vetores são linearmente independentes e, juntos, geram todo o . Portanto, uma base para é:
A dimensão de é o número de vetores na base, que aqui é 2.
Passo 3
Agora vamos para . Esse subespaço é gerado pelos vetores e . Para encontrar uma base para , precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes.
Para isso, vamos ver se existe alguma combinação linear não trivial que dá o vetor zero:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Da terceira equação, 2b = 0 implica que b = 0. Substituindo b = 0 na segunda equação, temos 2a = 0, ou seja, a = 0. Como a única solução é a = b = 0, os vetores são linearmente independentes.
Portanto, uma base para W2 é:
, (1,2,0), (3,1,2) ,
A dimensão de W2 também é 2, já que temos dois vetores na base.
Passo 4
Agora vamos encontrar a soma dos subespaços, W1 + W2. A soma de dois subespaços é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de W1 e um vetor de W2.
Então, um vetor qualquer em W1 + W2 tem a forma:
(0, y, z) + a(1,2,0) + b(3,1,2) = (a + 3b, y + 2a + b, z + 2b)
Para encontrar uma base para W1 + W2, vamos combinar as bases de W1 e W2:
, (0,1,0), (0,0,1), (1,2,0), (3,1,2) ,
Agora, precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Notamos que o vetor (0,1,0) já está em W1 e não pode ser escrito como combinação dos outros vetores, e o mesmo vale para (0,0,1). Os vetores de W2 também são independentes de W1.
Portanto, uma base para W1 + W2 é:
, (0,1,0), (0,0,1), (1,2,0), (3,1,2) ,
A dimensão de W1 + W2 é 4, pois temos quatro vetores na base.
Passo 5
Agora vamos determinar a interseção dos subespaços, W1 cap W2. A interseção contém todos os vetores que pertencem tanto a W1 quanto a W2.
Um vetor em W1 tem a forma (0, y, z), e para pertencer também a W2, ele deve ser uma combinação linear de (1,2,0) e (3,1,2). Vamos igualar as duas expressões:
(0, y, z) = a(1,2,0) + b(3,1,2) = (a + 3b, 2a + b, 2b)
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
a + 3b = 0 2a + b = y 2b = z
Primeiro, da primeira equação, a = -3b. Substituindo na segunda equação:
2(-3b) + b = -6b + b = -5b = y
E da terceira equação, z = 2b.
Então, todo vetor na interseção tem a forma:
(0, -5b, 2b) = b(0, -5, 2)
Isso significa que todos os vetores em W1 cap W2 são múltiplos do vetor (0, -5, 2).
Portanto, uma base para W1 cap W2 é:
, (0, -5, 2) ,
A dimensão de W1 cap W2 é 1, já que temos apenas um vetor na base.