Sejam e subespaços de . Determine uma base e a dimensão para e .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um espaço vetorial e dois subespaços dentro dele: , que é composto por todos os vetores onde a primeira coordenada é zero, e , que é gerado pelos vetores e . Nosso objetivo é encontrar uma base e a dimensão para cada um desses subespaços, assim como para a soma deles e para a interseção .
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de álgebra linear, como o que é uma base, o que significa a dimensão de um espaço vetorial, e como encontrar a soma e a interseção de subespaços. Vamos passo a passo para deixar tudo bem claro!
Passo 2
Vamos começar com . Esse subespaço é definido por todos os vetores em onde . Ou seja, qualquer vetor em tem a forma .
Para encontrar uma base para , precisamos encontrar um conjunto de vetores que sejam linearmente independentes e que gerem todo o subespaço . Olhando para a forma dos vetores, podemos notar que e são livres, ou seja, podem assumir qualquer valor real.
Então, podemos expressar qualquer vetor em como uma combinação linear de e . Esses dois vetores são linearmente independentes e, juntos, geram todo o . Portanto, uma base para é:
A dimensão de é o número de vetores na base, que aqui é 2.
Passo 3
Agora vamos para . Esse subespaço é gerado pelos vetores e . Para encontrar uma base para , precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes.
Para isso, vamos ver se existe alguma combinação linear não trivial que dá o vetor zero:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Da terceira equação, implica que . Substituindo na segunda equação, temos , ou seja, . Como a única solução é , os vetores são linearmente independentes.
Portanto, uma base para é:
A dimensão de também é 2, já que temos dois vetores na base.
Passo 4
Agora vamos encontrar a soma dos subespaços, . A soma de dois subespaços é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de e um vetor de .
Então, um vetor qualquer em tem a forma:
Para encontrar uma base para , vamos combinar as bases de e :
Agora, precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Notamos que o vetor já está em e não pode ser escrito como combinação dos outros vetores, e o mesmo vale para . Os vetores de também são independentes de .
Portanto, uma base para é:
A dimensão de é 4, pois temos quatro vetores na base.
Passo 5
Agora vamos determinar a interseção dos subespaços, . A interseção contém todos os vetores que pertencem tanto a quanto a .
Um vetor em tem a forma , e para pertencer também a , ele deve ser uma combinação linear de e . Vamos igualar as duas expressões:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Primeiro, da primeira equação, . Substituindo na segunda equação:
E da terceira equação, .
Então, todo vetor na interseção tem a forma:
Isso significa que todos os vetores em são múltiplos do vetor .
Portanto, uma base para é:
A dimensão de é 1, já que temos apenas um vetor na base.