Sejam V=P2(R) e p=2 x^2-3 x+1 in V. O conjunto p^prime prime, p^prime, p é uma base de V ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificarmos se o conjunto formado por , e é uma base do espaço . Estamos lidando com polinômios de grau no máximo 2, e vamos precisar entender conceitos de derivadas e bases em espaços vetoriais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o polinômio p(x) = 2x^2 - 3x + 1 . Ele é dado por:
Agora, vamos calcular a primeira derivada e a segunda derivada .

Passo 3

Calculando a primeira derivada:
p'(x) = ddx(2x^2 - 3x + 1) = 4x - 3
E a segunda derivada:
p''(x) = ddx(4x - 3) = 4

Passo 4

Agora, nosso conjunto é . Para verificar se esse conjunto é uma base de , precisamos checar duas coisas:
  1. Linearmente independentes: Nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros.
  2. Geram o espaço : Qualquer polinômio em pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores.

Passo 5

Vamos montar uma matriz com os coeficientes dos polinômios:
0 & 4 & 2 0 & -3 & -3 4 & 0 & 1
Aqui, cada coluna representa os coeficientes de , e respectivamente.

Passo 6

Calculamos o determinante dessa matriz para verificar a independência linear:
Determinante = 0 cdot (-3 cdot 1 - 0 cdot (-3)) - 4 cdot (0 cdot 1 - 4 cdot (-3)) + 2 cdot (0 cdot 0 - 4 cdot (-3)) = 0 - 4 cdot (0 + 12) + 2 cdot (0 + 12) = -48 + 24 = -24
Como o determinante é diferente de zero ( ), os polinômios são linearmente independentes.

Passo 7

Como temos três polinômios linearmente independentes em um espaço de dimensão 3 ( tem dimensão 3), eles também geram o espaço. Portanto, o conjunto forma uma base.

Resposta

Sim, o conjunto é uma base de .

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