Beleza, vamos lá! A questão pede para verificarmos se o conjunto formado por , e é uma base do espaço . Estamos lidando com polinômios de grau no máximo 2, e vamos precisar entender conceitos de derivadas e bases em espaços vetoriais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o polinômio . Ele é dado por:
Agora, vamos calcular a primeira derivada e a segunda derivada .
Passo 3
Calculando a primeira derivada:
E a segunda derivada:
Passo 4
Agora, nosso conjunto é . Para verificar se esse conjunto é uma base de , precisamos checar duas coisas:
Linearmente independentes: Nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros.
Geram o espaço : Qualquer polinômio em pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores.
Passo 5
Vamos montar uma matriz com os coeficientes dos polinômios:
Aqui, cada coluna representa os coeficientes de , e respectivamente.
Passo 6
Calculamos o determinante dessa matriz para verificar a independência linear:
Como o determinante é diferente de zero (), os polinômios são linearmente independentes.
Passo 7
Como temos três polinômios linearmente independentes em um espaço de dimensão 3 ( tem dimensão 3), eles também geram o espaço. Portanto, o conjunto forma uma base.