Em cada um dos seguintes itens, determine uma equação da hipérbole a partir dos elementos dados.
(1) focos F1=(-1,3) e F2=(-7,3) e comprimento do eixo transverso igual a 4,
(2) vértice V1=(5,4) e V2=(1,4) e comprimento do latus rectum igual a 5 ,
(3) focos F1=(2,13) e F2=(2,-13) e comprimento do eixo conjugado igual a 24,
(4) centro C=(0,0), um dos focos F=(4,4) e um dos vértices V=(2 raiz2, 2 raiz2),
(5) assintotas r: 4 x+y-11=0 e s: 4 x-y-13=0 e um dos vértices V=(3,1),
(6) um dos focos F=(2 raiz2, 2 raiz2), eixo normal y=-x e excentricidade e=32,
(7) eixo normal y=2, uma das assintotas r : 2 x-y-4=0 e latus rectum de comprimento 3 ,
(8) focos F1=(-raiz2,-raiz2) e F2=(raiz2, raiz2) e parâmetro 2 raiz2.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: precisamos encontrar a equação de uma hipérbole sabendo que os focos são e , e o comprimento do eixo transverso é igual a 4. Ou seja, vamos usar os dados dos focos e do eixo transverso para montar a equação da hipérbole.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o centro da hipérbole. O centro está no ponto médio entre os dois focos. Para calcular isso, usamos a fórmula do ponto médio:
C( x1 + x22, y1 + y22 ) = C( -1 + (-7)2, 3 + 32 ) = C(-4, 3)
Então, o centro da hipérbole é .

Passo 3

Agora, vamos determinar a distância entre os dois focos, que é 2c = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 = raiz(-7 - (-1))^2 + (3 - 3)^2 = raiz(-6)^2 + 0 = raiz36 = 6 . Usamos a fórmula da distância entre dois pontos:
Portanto, .

Passo 4

O comprimento do eixo transverso é dado como 4, que corresponde a 2a = 4 implies a = 2 . Então:

Passo 5

Sabemos que, para uma hipérbole, existe a relação:
c^2 = a^2 + b^2
Onde 3^2 = 2^2 + b^2 implies 9 = 4 + b^2 implies b^2 = 5 é a distância do centro até os vértices do eixo conjugado. Vamos substituir os valores que já temos:

Passo 6

Com todas as informações, podemos montar a equação da hipérbole. Como os focos têm a mesma coordenada (x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1 , a hipérbole é horizontal e a equação geral é:
(x + 4)^24 - (y - 3)^25 = 1
Substituindo , , e :

Resposta

A equação da hipérbole é:
(x + 4)^24 - (y - 3)^25 = 1

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