Em cada um dos seguintes itens, determine uma equação da hipérbole a partir dos elementos dados.
(1) focos e e comprimento do eixo transverso igual a 4,
(2) vértice e e comprimento do latus rectum igual a 5 ,
(3) focos e e comprimento do eixo conjugado igual a 24,
(4) centro , um dos focos e um dos vértices ,
(5) assintotas e e um dos vértices ,
(6) um dos focos , eixo normal e excentricidade ,
(7) eixo normal , uma das assintotas : e latus rectum de comprimento 3 ,
(8) focos e e parâmetro .

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: precisamos encontrar a equação de uma hipérbole sabendo que os focos são e , e o comprimento do eixo transverso é igual a 4. Ou seja, vamos usar os dados dos focos e do eixo transverso para montar a equação da hipérbole.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o centro da hipérbole. O centro está no ponto médio entre os dois focos. Para calcular isso, usamos a fórmula do ponto médio:
Então, o centro da hipérbole é .

Passo 3

Agora, vamos determinar a distância entre os dois focos, que é . Usamos a fórmula da distância entre dois pontos:
Portanto, .

Passo 4

O comprimento do eixo transverso é dado como 4, que corresponde a . Então:

Passo 5

Sabemos que, para uma hipérbole, existe a relação:
Onde é a distância do centro até os vértices do eixo conjugado. Vamos substituir os valores que já temos:

Passo 6

Com todas as informações, podemos montar a equação da hipérbole. Como os focos têm a mesma coordenada , a hipérbole é horizontal e a equação geral é:
Substituindo , , e :

Resposta

A equação da hipérbole é:

Exercícios relacionados

Sejam e . O conjunto é uma base de ?
Um quadrado tem a diagonal contida na reta . Sabendo que , determine os vértices .
As assíntotas de uma hipérbole são perpendiculares e uma delas é paralela à reta . Sabendo que tem eixo focal horizontal e centro , determine equação de .
Determine os extremos da corda focal da parábola , que é paralela à reta .