Em cada um dos seguintes itens, determine uma equação da hipérbole a partir dos elementos dados.
(1) focos
e
e comprimento do eixo transverso igual a 4,
(2) vértice
e
e comprimento do latus rectum igual a 5 ,
(3) focos
e
e comprimento do eixo conjugado igual a 24,
(4) centro
, um dos focos
e um dos vértices
,
(5) assintotas
e
e um dos vértices
,
(6) um dos focos
, eixo normal
e excentricidade
,
(7) eixo normal
, uma das assintotas
:
e latus rectum de comprimento 3 ,
(8) focos
e
e parâmetro
.
(1) focos
(2) vértice
(3) focos
(4) centro
(5) assintotas
(6) um dos focos
(7) eixo normal
(8) focos
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede: precisamos encontrar a equação de uma hipérbole sabendo que os focos são
e
, e o comprimento do eixo transverso é igual a 4. Ou seja, vamos usar os dados dos focos e do eixo transverso para montar a equação da hipérbole.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o centro da hipérbole. O centro está no ponto médio entre os dois focos. Para calcular isso, usamos a fórmula do ponto médio:
Então, o centro da hipérbole é
.
Passo 3
Agora, vamos determinar a distância entre os dois focos, que é
. Usamos a fórmula da distância entre dois pontos:
Portanto,
.
Passo 4
O comprimento do eixo transverso é dado como 4, que corresponde a
. Então:
Passo 5
Sabemos que, para uma hipérbole, existe a relação:
Onde
é a distância do centro até os vértices do eixo conjugado. Vamos substituir os valores que já temos:
Passo 6
Com todas as informações, podemos montar a equação da hipérbole. Como os focos têm a mesma coordenada
, a hipérbole é horizontal e a equação geral é:
Substituindo
,
,
e
:
Resposta
A equação da hipérbole é:
Exercícios relacionados
Sejam
e
. O conjunto
é uma base de
?
Um quadrado
tem a diagonal
contida na reta
. Sabendo que
, determine os vértices
.
As assíntotas de uma hipérbole
são perpendiculares e uma delas é paralela à reta
. Sabendo que
tem eixo focal horizontal e centro
, determine equação de
.
Determine os extremos da corda focal da parábola
, que é paralela à reta
.