Determine os extremos da corda focal da parábola Gamma: x^2+2 x y+y^2-8 raiz2 x+8 raiz2 y=0, que é paralela à reta r: x=7 y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma parábola definida pela equação . Além disso, precisamos encontrar os extremos de uma corda focal dessa parábola que é paralela à reta . Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre análise de parábolas, transformação de coordenadas e propriedades das cordas focais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação da parábola. Observamos que há um termo , que indica que a parábola está rotacionada em relação aos eixos coordenados. Para facilitar, vamos realizar uma rotação de coordenadas para eliminar esse termo.

Passo 3

A fórmula para rotação de coordenadas é dada por:
x = x'costheta - y'sintheta
y = x'sintheta + y'costheta
Nosso objetivo é escolher o ângulo de forma que o termo desapareça na nova equação.

Passo 4

Para eliminar o termo tan(2theta) = BA - C , usamos a condição:
tan(2theta) = 21 - 1 = indefinido
Onde, na nossa equação original , e . Então:
Isso significa que ou .

Passo 5

Com cos45^circ = sin45^circ = raiz22 , temos:
x = raiz22x' - raiz22y'
Substituindo na transformação:
y = raiz22x' + raiz22y'

Passo 6

Agora, substituímos (raiz22x' - raiz22y')^2 + 2(raiz22x' - raiz22y')(raiz22x' + raiz22y') + (raiz22x' + raiz22y')^2 - 8raiz2(raiz22x' - raiz22y') + 8raiz2(raiz22x' + raiz22y') = 0 e na equação original da parábola:

Passo 7

Simplificando a equação, observamos que os termos cruzados x'^2 - 8x' = 0 se cancelam, resultando em uma equação simplificada na nova coordenada :
Isso revela que a equação é uma parábola no sistema de coordenadas rotacionado.

Passo 8

Agora, identificamos os elementos da parábola padrão . Comparando com nossa equação simplificada, vemos que , então . O foco da parábola está a uma distância do vértice, ou seja, no ponto no sistema rotacionado.

Passo 9

Queremos encontrar uma corda focal paralela à reta . Primeiro, determinamos a inclinação dessa reta. A equação pode ser reescrita como , então a inclinação .

Passo 10

A corda focal será uma linha que passa pelo foco e tem a mesma inclinação que y' = 17x' , ou seja, . No sistema rotacionado, a equação da corda focal é:

Passo 11

Para encontrar os pontos de interseção entre a corda focal e a parábola, substituímos (17x')^2 = 4(-2)x' na equação da parábola 149x'^2 = -8x' :
x'^2 + 392x' = 0
x'(x' + 392) = 0

Passo 12

As soluções são y' = 0 e y' = 17(-392) = -56 . Correspondente a esses valores de , temos:
Para :
Para :

Passo 13

Agora, voltamos para o sistema de coordenadas original usando as transformações inversas:
x = raiz22x' - raiz22y'
y = raiz22x' + raiz22y'
Para x = 0 :
y = 0
x = raiz22(-392) - raiz22(-56) = raiz22(-392 + 56) = raiz22(-336) = -168raiz2
Para y = raiz22(-392) + raiz22(-56) = raiz22(-392 - 56) = raiz22(-448) = -224raiz2 :

Resposta

Os extremos da corda focal são os pontos e .

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