Determine os extremos da corda focal da parábola
, que é paralela à reta
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma parábola definida pela equação
. Além disso, precisamos encontrar os extremos de uma corda focal dessa parábola que é paralela à reta
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre análise de parábolas, transformação de coordenadas e propriedades das cordas focais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação da parábola. Observamos que há um termo
, que indica que a parábola está rotacionada em relação aos eixos coordenados. Para facilitar, vamos realizar uma rotação de coordenadas para eliminar esse termo.
Passo 3
A fórmula para rotação de coordenadas é dada por:
Nosso objetivo é escolher o ângulo
de forma que o termo
desapareça na nova equação.
Passo 4
Para eliminar o termo
, usamos a condição:
Onde, na nossa equação original
,
e
. Então:
Isso significa que
ou
.
Passo 5
Com
, temos:
Substituindo na transformação:
Passo 6
Agora, substituímos
e
na equação original da parábola:
Passo 7
Simplificando a equação, observamos que os termos cruzados
se cancelam, resultando em uma equação simplificada na nova coordenada
:
Isso revela que a equação é uma parábola no sistema de coordenadas rotacionado.
Passo 8
Agora, identificamos os elementos da parábola padrão
. Comparando com nossa equação simplificada, vemos que
, então
. O foco da parábola está a uma distância
do vértice, ou seja, no ponto
no sistema rotacionado.
Passo 9
Queremos encontrar uma corda focal paralela à reta
. Primeiro, determinamos a inclinação dessa reta. A equação pode ser reescrita como
, então a inclinação
.
Passo 10
A corda focal será uma linha que passa pelo foco e tem a mesma inclinação que
, ou seja,
. No sistema rotacionado, a equação da corda focal é:
Passo 11
Para encontrar os pontos de interseção entre a corda focal e a parábola, substituímos
na equação da parábola
:
Passo 12
As soluções são
e
. Correspondente a esses valores de
, temos:
Para
:
Para
:
Passo 13
Agora, voltamos para o sistema de coordenadas original usando as transformações inversas:
Para
:
Para
:
Resposta
Os extremos da corda focal são os pontos
e
.
Exercícios relacionados
As assíntotas de uma hipérbole
são perpendiculares e uma delas é paralela à reta
. Sabendo que
tem eixo focal horizontal e centro
, determine equação de
.
Em cada um dos seguintes itens, determine uma equação da hipérbole a partir dos elementos dados.
(1) focos e
e comprimento do eixo transverso igual a 4,
(2) vértice e
e comprimento do latus rectum igual a 5 ,
(3) focos e
e comprimento do eixo conjugado igual a 24,
(4) centro , um dos focos
e um dos vértices
,
(5) assintotas e
e um dos vértices
,
(6) um dos focos , eixo normal
e excentricidade
,
(7) eixo normal , uma das assintotas
:
e latus rectum de comprimento 3 ,
(8) focos e
e parâmetro
.
(1) focos
(2) vértice
(3) focos
(4) centro
(5) assintotas
(6) um dos focos
(7) eixo normal
(8) focos
Sejam
e
subespaços de
. Determine uma base e a dimensão para
e
.
Seja
e
. Encontre uma base de
. Pode-se estender esta base para uma base de
? Por quê? Em caso afirmativo encontre a base de
.