Determine os extremos da corda focal da parábola , que é paralela à reta .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma parábola definida pela equação . Além disso, precisamos encontrar os extremos de uma corda focal dessa parábola que é paralela à reta . Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre análise de parábolas, transformação de coordenadas e propriedades das cordas focais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação da parábola. Observamos que há um termo , que indica que a parábola está rotacionada em relação aos eixos coordenados. Para facilitar, vamos realizar uma rotação de coordenadas para eliminar esse termo.

Passo 3

A fórmula para rotação de coordenadas é dada por:
Nosso objetivo é escolher o ângulo de forma que o termo desapareça na nova equação.

Passo 4

Para eliminar o termo , usamos a condição:
Onde, na nossa equação original , e . Então:
Isso significa que ou .

Passo 5

Com , temos:
Substituindo na transformação:

Passo 6

Agora, substituímos e na equação original da parábola:

Passo 7

Simplificando a equação, observamos que os termos cruzados se cancelam, resultando em uma equação simplificada na nova coordenada :
Isso revela que a equação é uma parábola no sistema de coordenadas rotacionado.

Passo 8

Agora, identificamos os elementos da parábola padrão . Comparando com nossa equação simplificada, vemos que , então . O foco da parábola está a uma distância do vértice, ou seja, no ponto no sistema rotacionado.

Passo 9

Queremos encontrar uma corda focal paralela à reta . Primeiro, determinamos a inclinação dessa reta. A equação pode ser reescrita como , então a inclinação .

Passo 10

A corda focal será uma linha que passa pelo foco e tem a mesma inclinação que , ou seja, . No sistema rotacionado, a equação da corda focal é:

Passo 11

Para encontrar os pontos de interseção entre a corda focal e a parábola, substituímos na equação da parábola :

Passo 12

As soluções são e . Correspondente a esses valores de , temos:
Para :
Para :

Passo 13

Agora, voltamos para o sistema de coordenadas original usando as transformações inversas:
Para :
Para :

Resposta

Os extremos da corda focal são os pontos e .

Exercícios relacionados

As assíntotas de uma hipérbole são perpendiculares e uma delas é paralela à reta . Sabendo que tem eixo focal horizontal e centro , determine equação de .
Em cada um dos seguintes itens, determine uma equação da hipérbole a partir dos elementos dados.
(1) focos e e comprimento do eixo transverso igual a 4,
(2) vértice e e comprimento do latus rectum igual a 5 ,
(3) focos e e comprimento do eixo conjugado igual a 24,
(4) centro , um dos focos e um dos vértices ,
(5) assintotas e e um dos vértices ,
(6) um dos focos , eixo normal e excentricidade ,
(7) eixo normal , uma das assintotas : e latus rectum de comprimento 3 ,
(8) focos e e parâmetro .
Sejam e subespaços de . Determine uma base e a dimensão para e .
Seja e . Encontre uma base de . Pode-se estender esta base para uma base de ? Por quê? Em caso afirmativo encontre a base de .