Dê as assíntotas horizontais e verticais do gráfico de
pontos nos quais elas se cruzam.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função
e os pontos onde elas se cruzam. Isso envolve conceitos de funções racionais e exponenciais, além de entender o que são assíntotas e como identificá-las.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a análise. Observamos que
. Então, a função fica:
Lembre-se que
, então podemos reescrever:
Passo 3
Agora, vamos identificar as assíntotas verticais. Essas assíntotas ocorrem nos valores de
onde a função não está definida, geralmente onde o denominador é zero. Observando a função simplificada:
Aqui, não há denominador que possa se tornar zero, exceto quando
estava no denominador original. Portanto, há uma assíntota vertical em
.
Passo 4
Agora, vamos procurar as assíntotas horizontais. Essas assíntotas analisam o comportamento da função quando
tende para
ou
. Vamos observar o limite da função quando
cresce sem limites:
Para simplificar, percebemos que
quando
é muito grande. Então, a expressão se aproxima de:
Esse limite tende para
quando
e para
quando
. Isso significa que não há assíntotas horizontais, já que a função cresce sem limites e não se aproxima de nenhum valor constante.
Passo 5
Por fim, vamos verificar se há algum ponto onde as assíntotas se cruzam. Como temos apenas uma assíntota vertical em
e nenhuma assíntota horizontal, não há pontos de interseção entre elas.
Resposta
A função possui uma assíntota vertical em
e não possui assíntotas horizontais. Não há pontos de interseção entre assíntotas.