Dê as assíntotas horizontais e verticais do gráfico de f(x) = raiz(5 x^2 + 2) / (4 x^(-3)) e^(o^5) pontos nos quais elas se cruzam.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função e os pontos onde elas se cruzam. Isso envolve conceitos de funções racionais e exponenciais, além de entender o que são assíntotas e como identificá-las.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a análise. Observamos que . Então, a função fica:
Lembre-se que , então podemos reescrever:

Passo 3

Agora, vamos identificar as assíntotas verticais. Essas assíntotas ocorrem nos valores de onde a função não está definida, geralmente onde o denominador é zero. Observando a função simplificada:
Aqui, não há denominador que possa se tornar zero, exceto quando estava no denominador original. Portanto, há uma assíntota vertical em .

Passo 4

Agora, vamos procurar as assíntotas horizontais. Essas assíntotas analisam o comportamento da função quando tende para ou . Vamos observar o limite da função quando cresce sem limites:
Para simplificar, percebemos que quando é muito grande. Então, a expressão se aproxima de:
Esse limite tende para quando e para quando . Isso significa que não há assíntotas horizontais, já que a função cresce sem limites e não se aproxima de nenhum valor constante.

Passo 5

Por fim, vamos verificar se há algum ponto onde as assíntotas se cruzam. Como temos apenas uma assíntota vertical em e nenhuma assíntota horizontal, não há pontos de interseção entre elas.

Resposta

A função possui uma assíntota vertical em e não possui assíntotas horizontais. Não há pontos de interseção entre assíntotas.

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