Esboce o gráfico da funçäo e se e use-o para determinar os valores de a para os quals existe.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente desenhar o gráfico de uma função que é definida por partes e depois usar esse gráfico para descobrir para quais valores de o limite existe. A matéria envolvida aqui são funções definidas por partes e limites. Vamos precisar entender como cada parte da função se comporta e verificar os pontos onde a definição muda.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como é a função . Ela está definida de três maneiras diferentes, dependendo do valor de :
Isso significa que para cada intervalo de , a função se comporta de uma forma específica.
Passo 3
Vamos esboçar o gráfico de parte por parte:
Para : A função é , que é uma reta com inclinação 1 e intercepto em 1.
Para : A função é , que é uma parábola voltada para cima.
Para : A função é , que é uma reta decrescente com inclinação -1 e intercepto em 2.
Passo 4
Vamos agora identificar os pontos onde a definição da função muda, ou seja, em e . Esses são os pontos onde precisamos prestar atenção para verificar se o limite existe.
Passo 5
Para que o limite limx to a^- f(x) = limx to a^+ f(x) exista em um ponto , os limites laterais devem ser iguais. Isso significa que:
Vamos verificar isso nos pontos críticos e .
Passo 6
No ponto limx to -1^- f(x) = 1 + (-1) = 0 :
Limite pela esquerda ( limx to -1^+ f(x) = (-1)^2 = 1 ): Usamos .
Limite pela direita (): Usamos .
Como os limites laterais são diferentes (0 ≠ 1), o limite não existe em .
Passo 7
No ponto limx to 1^- f(x) = (1)^2 = 1 :
Limite pela esquerda ( limx to 1^+ f(x) = 2 - 1 = 1 ): Usamos .
Limite pela direita (): Usamos .
Aqui, os limites laterais são iguais (1 = 1), então o limite existe em .
Passo 8
Agora, para todos os outros valores de que não sejam pontos de mudança na definição da função ( e ), o limite sempre existe, porque a função é contínua em cada um dos intervalos.
Resposta
Os valores de para os quais existe são todos os números reais exceto. Ou seja, o limite existe para todo com .