Explique por que existe uma raiz da equação 4 x^3 - 6 x^2 + 3 x - 2 = 0 e^n t r e^1 e^2

Passo 1

Beleza, vamos assistir esse exercício! A gente tem a equação e queremos explicar por que existe pelo menos uma raiz dessa equação entre os números 1 e 2. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que basicamente diz que se uma função contínua assume valores de sinais opostos em dois pontos, então ela deve cruzar o eixo x em algum lugar entre esses pontos, ou seja, tem uma raiz ali.

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossa função baseada na equação dada:
Agora, vamos calcular o valor dessa função em .

Passo 3

Calculando :
Então, .

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor da função em :
Portanto, .

Passo 5

Observamos que e . Isso significa que a função passa de um valor negativo para um valor positivo quando vai de 1 para 2.

Passo 6

Segundo o Teorema do Valor Intermediário, como a função é contínua e os valores de e têm sinais opostos, existe pelo menos um valor entre 1 e 2 tal que .

Resposta

Existe pelo menos uma raiz da equação no intervalo entre e .

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