Use o Teorema do Confronto para mostrar que lim x 0 x^6 cdot cos 3x=0.

Passo 1

Então, o exercício pede para calcular o limite de quando se aproxima de 0, usando o Teorema do Confronto. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função cosseno se comporta e aplicar o teorema que ajuda a encontrar limites de funções que estão “presa” entre duas outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o cosseno sempre está entre -1 e 1, ou seja:
-1 <= cos(3x) <= 1

Passo 3

Agora, vamos multiplicar toda a desigualdade por - x^6 <= x^6 cdot cos(3x) <= x^6 . Como é positivo (porque qualquer número elevado a uma potência par fica positivo), a direção das desigualdades não muda:

Passo 4

O próximo passo é usar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche), que diz que se uma função está entre duas outras que têm o mesmo limite em um ponto, então o limite da função do meio também é esse mesmo valor.

Passo 5

Vamos calcular o limite das duas extremidades quando limx to 0 -x^6 = 0 e limx to 0 x^6 = 0 tende a 0:

Passo 6

Como tanto quanto tendem a 0 quando se aproxima de 0, pelo Teorema do Confronto, o limite de também deve ser 0.

Resposta

limx to 0 x^6 cdot cos(3x) = 0

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