Use o Teorema do Confronto para mostrar que
.
Passo 1
Então, o exercício pede para calcular o limite de
quando
se aproxima de 0, usando o Teorema do Confronto. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função cosseno se comporta e aplicar o teorema que ajuda a encontrar limites de funções que estão “presa” entre duas outras funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o cosseno sempre está entre -1 e 1, ou seja:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar toda a desigualdade por
. Como
é positivo (porque qualquer número elevado a uma potência par fica positivo), a direção das desigualdades não muda:
Passo 4
O próximo passo é usar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche), que diz que se uma função está entre duas outras que têm o mesmo limite em um ponto, então o limite da função do meio também é esse mesmo valor.
Passo 5
Vamos calcular o limite das duas extremidades quando
tende a 0:
Passo 6
Como tanto
quanto
tendem a 0 quando
se aproxima de 0, pelo Teorema do Confronto, o limite de
também deve ser 0.