Associe cada equação diferencial com seu respectivo campo de direções. Em seguida, encontre a solução de equilíbrio e decida o comportamento quando .
d.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma equação diferencial da forma e precisamos associá-la ao seu campo de direções correspondente. Além disso, devemos encontrar as soluções de equilíbrio e determinar como o comportamento da solução se comporta quando . Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais ordinárias e análise de estabilidade de pontos de equilíbrio.

Passo 2

Vamos começar encontrando as soluções de equilíbrio. Soluções de equilíbrio são valores de onde . Então, igualamos a equação a zero:

Passo 3

Resolvendo a equação , temos duas soluções:
Portanto, os pontos de equilíbrio são e .

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento das soluções próximo a esses pontos de equilíbrio. Para isso, observamos o sinal de em diferentes intervalos de :
  • Se : será positivo, pois dois negativos multiplicados dão positivo.
  • Se : será positivo, já que ambos os fatores são positivos.
  • Se : será negativo, pois o primeiro fator é positivo e o segundo é negativo.

Passo 5

Com base nisso, podemos desenhar o campo de direções:
  • Para , as soluções aumentam.
  • Para , as soluções também aumentam.
  • Para , as soluções diminuem.
Isso nos mostra que é um ponto de equilíbrio instável e é um ponto de equilíbrio estável.

Passo 6

Finalmente, vamos determinar o comportamento para . Dependendo do valor inicial de :
  • Se e , aumentará e se aproximará de 3.
  • Se , diminuirá e também se aproximará de 3.
  • Se , permanecerá em 0.
Então, para qualquer condição inicial , tende a 3 quando .

Resposta

A solução de equilíbrio é (instável) e (estável). Para qualquer valor inicial , tende a 3 quando .

Exercícios relacionados

Em cada um dos itens abaixo, verifique se a função (ou as funções) dada(s), constituem solução da equação diferencial.
b.
Resolva as seguintes equações diferenciais separáveis.
e.
Em cada item, desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada. Baseado no campo de direções, determine o comportamento de quando . Se esse comportamento depender do valor inicial de quanto , descreva essa dependência.
b.
Determine a solução do PVI abaixo. Note que a equação não é linear em . Tente considerar como função de .