Associe cada equação diferencial com seu respectivo campo de direções. Em seguida, encontre a solução de equilíbrio e decida o comportamento quando
.
d.
d.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma equação diferencial da forma
e precisamos associá-la ao seu campo de direções correspondente. Além disso, devemos encontrar as soluções de equilíbrio e determinar como o comportamento da solução se comporta quando
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais ordinárias e análise de estabilidade de pontos de equilíbrio.
Passo 2
Vamos começar encontrando as soluções de equilíbrio. Soluções de equilíbrio são valores de
onde
. Então, igualamos a equação a zero:
Passo 3
Resolvendo a equação
, temos duas soluções:
Portanto, os pontos de equilíbrio são
e
.
Passo 4
Agora, vamos analisar o comportamento das soluções próximo a esses pontos de equilíbrio. Para isso, observamos o sinal de
em diferentes intervalos de
:
- Se
: será positivo, pois dois negativos multiplicados dão positivo. - Se
: será positivo, já que ambos os fatores são positivos. - Se
: será negativo, pois o primeiro fator é positivo e o segundo é negativo.
Passo 5
Com base nisso, podemos desenhar o campo de direções:
- Para
, as soluções aumentam. - Para
, as soluções também aumentam. - Para
, as soluções diminuem.
Isso nos mostra que
é um ponto de equilíbrio instável e
é um ponto de equilíbrio estável.
Passo 6
Finalmente, vamos determinar o comportamento para
. Dependendo do valor inicial de
:
- Se
e , aumentará e se aproximará de 3. - Se
, diminuirá e também se aproximará de 3. - Se
, permanecerá em 0.
Então, para qualquer condição inicial
,
tende a 3 quando
.
Resposta
A solução de equilíbrio é
(instável) e
(estável). Para qualquer valor inicial
,
tende a 3 quando
.
Exercícios relacionados
Em cada um dos itens abaixo, verifique se a função (ou as funções) dada(s), constituem solução da equação diferencial.
b.
b.
Resolva as seguintes equações diferenciais separáveis.
e.
e.
Em cada item, desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada. Baseado no campo de direções, determine o comportamento de
quando
. Se esse comportamento depender do valor inicial de
quanto
, descreva essa dependência.
b.
b.
Determine a solução do PVI abaixo. Note que a equação não é linear em
. Tente considerar
como função de
.