Em cada item, desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada. Baseado no campo de direções, determine o comportamento de
quando
. Se esse comportamento depender do valor inicial de
quanto
, descreva essa dependência.
b.
b.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenhar o campo de direções para a equação diferencial
. Isso significa que vamos analisar como a taxa de variação de
(ou seja,
) se comporta dependendo do valor de
. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre campos de direções e como eles nos ajudam a visualizar soluções de equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a equação
está dizendo. Aqui,
representa a derivada de
em relação a
, ou seja, a taxa de variação de
. A equação nos diz que essa taxa é igual ao quadrado de
. Isso significa que, dependendo do valor de
, a função
vai crescer ou decrescer de uma certa maneira.
Passo 3
Para desenhar o campo de direções, vamos selecionar alguns valores de
e calcular
para cada um deles. Por exemplo:
- Se
, então . Isso significa que, nesse ponto, a função não está mudando; é uma solução constante. - Se
, então . Aqui, a função está sempre aumentando, e a taxa de aumento é maior quanto maior for . - Se
, então também, porque o quadrado de um número negativo é positivo. Assim, mesmo para negativo, a função está aumentando (ou seja, ficando menos negativa).
Passo 4
Agora, vamos pensar no comportamento de
quando
tende ao infinito (
). Observando o que calculamos:
- Para
, como é positivo e cresce com , a função vai crescer cada vez mais rápido. Isso significa que tende ao infinito conforme aumenta. - Para
, como , permanece constante em zero para todo o tempo. - Para
, mesmo que seja positivo, a função está aumentando. No entanto, ela está se tornando menos negativa e tende a zero conforme aumenta.
Passo 5
Então, resumindo:
- Se o valor inicial
, a solução vai crescer sem limites à medida que vai para o infinito. - Se
, a solução permanece em zero para todo . - Se
, a solução vai aumentar (ficar menos negativa) e tende a zero à medida que vai para o infinito.
Resposta
Com base no campo de direções para a equação
:
- Se
: tende ao infinito quando . - Se
: permanece igual a zero para todo . - Se
: aumenta e tende a zero quando .
Exercícios relacionados
Associe cada equação diferencial com seu respectivo campo de direções. Em seguida, encontre a solução de equilíbrio e decida o comportamento quando
.
d.
d.
Em cada um dos itens abaixo, verifique se a função (ou as funções) dada(s), constituem solução da equação diferencial.
b.
b.
Determine a solução do PVI abaixo. Note que a equação não é linear em
. Tente considerar
como função de
.
Determine as dimensões da caixa retangular de maior volume se a área total de sua superfície é dada por
.