Em cada item, desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada. Baseado no campo de direções, determine o comportamento de y quando t -> infinito. Se esse comportamento depender do valor inicial de y quanto t = 0, descreva essa dependência.
b. y' = y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenhar o campo de direções para a equação diferencial . Isso significa que vamos analisar como a taxa de variação de (ou seja, ) se comporta dependendo do valor de . Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre campos de direções e como eles nos ajudam a visualizar soluções de equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a equação está dizendo. Aqui, representa a derivada de em relação a , ou seja, a taxa de variação de . A equação nos diz que essa taxa é igual ao quadrado de . Isso significa que, dependendo do valor de , a função vai crescer ou decrescer de uma certa maneira.

Passo 3

Para desenhar o campo de direções, vamos selecionar alguns valores de e calcular para cada um deles. Por exemplo:
  • Se , então . Isso significa que, nesse ponto, a função não está mudando; é uma solução constante.
  • Se , então . Aqui, a função está sempre aumentando, e a taxa de aumento é maior quanto maior for .
  • Se , então também, porque o quadrado de um número negativo é positivo. Assim, mesmo para negativo, a função está aumentando (ou seja, ficando menos negativa).

Passo 4

Agora, vamos pensar no comportamento de quando tende ao infinito ( ). Observando o que calculamos:
  • Para , como é positivo e cresce com , a função vai crescer cada vez mais rápido. Isso significa que tende ao infinito conforme aumenta.
  • Para , como , permanece constante em zero para todo o tempo.
  • Para , mesmo que seja positivo, a função está aumentando. No entanto, ela está se tornando menos negativa e tende a zero conforme aumenta.

Passo 5

Então, resumindo:
  • Se o valor inicial , a solução vai crescer sem limites à medida que vai para o infinito.
  • Se , a solução permanece em zero para todo .
  • Se , a solução vai aumentar (ficar menos negativa) e tende a zero à medida que vai para o infinito.

Resposta

Com base no campo de direções para a equação :
  • Se : tende ao infinito quando .
  • Se : permanece igual a zero para todo .
  • Se : aumenta e tende a zero quando .

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