Determine a solução do PVI abaixo. Note que a equação não é linear em
. Tente considerar
como função de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um problema inicial de valor (PVI) com uma equação diferencial que não é linear em
. A ideia aqui é tratar
como uma função de
para facilitar a resolução. Vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais lineares e entender um pouco sobre funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial considerando
como função de
. A equação original é:
Invertendo a derivada para termos
:
Passo 3
Agora, temos uma equação diferencial linear na forma:
Aqui,
é a função que queremos encontrar em termos de
.
Passo 4
Para resolver essa equação, vamos usar um fator integrante. Primeiro, identificamos o coeficiente de
, que é 1, e calculamos o fator integrante:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante
:
O lado esquerdo agora é a derivada de
:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
A integral de
é
, então:
Passo 7
Resolvendo para
:
Simplificando:
Isso é igual ao cosseno hiperbólico de
, ou seja:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
. Quando
,
:
Sabemos que
, então a constante
já está incorporada na solução geral.
Resposta
A solução do PVI é
, ou seja,
.
Exercícios relacionados
Em cada item, desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada. Baseado no campo de direções, determine o comportamento de
quando
. Se esse comportamento depender do valor inicial de
quanto
, descreva essa dependência.
b.
b.
Associe cada equação diferencial com seu respectivo campo de direções. Em seguida, encontre a solução de equilíbrio e decida o comportamento quando
.
d.
d.
Determine as dimensões da caixa retangular de maior volume se a área total de sua superfície é dada por
.
Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.