Determine a solução do PVI abaixo. Note que a equação não é linear em y. Tente considerar t como função de y.
dy/dt = 1/(e^y - t) ; y(1) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um problema inicial de valor (PVI) com uma equação diferencial que não é linear em . A ideia aqui é tratar como uma função de para facilitar a resolução. Vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais lineares e entender um pouco sobre funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial considerando como função de . A equação original é:
Invertendo a derivada para termos :

Passo 3

Agora, temos uma equação diferencial linear na forma:
Aqui, é a função que queremos encontrar em termos de .

Passo 4

Para resolver essa equação, vamos usar um fator integrante. Primeiro, identificamos o coeficiente de , que é 1, e calculamos o fator integrante:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante :
O lado esquerdo agora é a derivada de :

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a :
A integral de é , então:

Passo 7

Resolvendo para :
Simplificando:
Isso é igual ao cosseno hiperbólico de , ou seja:

Passo 8

Aplicamos a condição inicial . Quando , :
Sabemos que , então a constante já está incorporada na solução geral.

Resposta

A solução do PVI é , ou seja, .

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