Resolva as seguintes equações diferenciais separáveis.
e.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial separável . Esse tipo de equação faz parte do estudo de equações diferenciais separáveis, onde podemos separar as variáveis e para facilitar a resolução. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação de forma que todos os termos com fiquem de um lado e os termos com fiquem do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para separar as variáveis e . Começamos lembrando que , então temos:
Agora, vamos dividir ambos os lados por para isolar de um lado:

Passo 3

Agora que separamos as variáveis, o próximo passo é integrar ambos os lados da equação. Vamos começar pelo lado esquerdo:
Sabemos que , e a integral de é . Então:
O lado direito da equação é:
Para integrar , usamos a identidade trigonométrica . Assim:

Passo 4

Agora, juntamos as integrais:
Podemos simplificar as constantes e em uma única constante :

Passo 5

Por fim, isolamos aplicando a função arco-tangente em ambos os lados:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes equações diferenciais separáveis.
b. ;
Em cada um dos itens abaixo, verifique se a função (ou as funções) dada(s), constituem solução da equação diferencial.
c.
Em cada um dos itens abaixo, verifique se a função (ou as funções) dada(s), constituem solução da equação diferencial.
b.
Associe cada equação diferencial com seu respectivo campo de direções. Em seguida, encontre a solução de equilíbrio e decida o comportamento quando .
d.