Resolva as seguintes equações diferenciais separáveis.
e.
e.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial separável
. Esse tipo de equação faz parte do estudo de equações diferenciais separáveis, onde podemos separar as variáveis
e
para facilitar a resolução. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação de forma que todos os termos com
fiquem de um lado e os termos com
fiquem do outro.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para separar as variáveis
e
. Começamos lembrando que
, então temos:
Agora, vamos dividir ambos os lados por
para isolar
de um lado:
Passo 3
Agora que separamos as variáveis, o próximo passo é integrar ambos os lados da equação. Vamos começar pelo lado esquerdo:
Sabemos que
, e a integral de
é
. Então:
O lado direito da equação é:
Para integrar
, usamos a identidade trigonométrica
. Assim:
Passo 4
Agora, juntamos as integrais:
Podemos simplificar as constantes
e
em uma única constante
:
Passo 5
Por fim, isolamos
aplicando a função arco-tangente em ambos os lados:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes equações diferenciais separáveis.
b. ;
b.
Em cada um dos itens abaixo, verifique se a função (ou as funções) dada(s), constituem solução da equação diferencial.
c.
c.
Em cada um dos itens abaixo, verifique se a função (ou as funções) dada(s), constituem solução da equação diferencial.
b.
b.
Associe cada equação diferencial com seu respectivo campo de direções. Em seguida, encontre a solução de equilíbrio e decida o comportamento quando
.
d.
d.