Associe cada série com seu valor, caso convergente. Caso contrário, mostre sua divergência.
Passo 1
Beleza, vamos analisar o exercício que pede para associar uma série com seu valor, caso ela convirja, ou mostrar que ela diverge. A série que temos é uma série geométrica: . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma série geométrica e como determinar se ela converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre séries geométricas. Uma série geométrica é uma soma infinita onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão da série, que representamos por . A fórmula geral de uma série geométrica é:
onde é o primeiro termo e é a razão.
Passo 3
Para saber se uma série geométrica converge ou diverge, olhamos para o valor da razão :
Se , a série converge.
Se , a série diverge.
No nosso caso, a razão é . Vamos verificar:
Como é menor que 1, a série converge.
Passo 4
Agora que sabemos que a série converge, podemos encontrar o valor da soma. A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita quando S = a1 - r é:
S = 231 - 23 = 2313 = 2
No nosso caso, o primeiro termo é . Vamos substituir na fórmula: