Associe cada série com seu valor, caso convergente. Caso contrário, mostre sua divergência.
sumn=1^infty(23)^n

Passo 1

Beleza, vamos analisar o exercício que pede para associar uma série com seu valor, caso ela convirja, ou mostrar que ela diverge. A série que temos é uma série geométrica: . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma série geométrica e como determinar se ela converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre séries geométricas. Uma série geométrica é uma soma infinita onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão da série, que representamos por sumn=0^infty ar^n . A fórmula geral de uma série geométrica é:
onde é o primeiro termo e é a razão.

Passo 3

Para saber se uma série geométrica converge ou diverge, olhamos para o valor da razão |23| = 23 < 1 :
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
No nosso caso, a razão é . Vamos verificar:
Como é menor que 1, a série converge.

Passo 4

Agora que sabemos que a série converge, podemos encontrar o valor da soma. A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita quando S = a1 - r é:
S = 231 - 23 = 2313 = 2
No nosso caso, o primeiro termo é . Vamos substituir na fórmula:

Resposta

A série converge e tem como soma o valor .

Exercícios relacionados

Calcule as integrais: integral0^1 / 2 x cos (pi x) d x;
Calcule a integral: integral0^2 integral0^pi / 2 x sen y d y d x R: 2
Em cada caso, verifique que a função que estende o n-ésimo termo da série satisfaz as hipóteses do Critério da Integral e em seguida determine a natureza da série, ou seja, se é convergente ou divergente.
sumn=1^infty 1(2 n+3)^2
Marque Falso ou Verdadeiro em cada uma das sentenças. Justifique as afirmações falsas com um contraexemplo.
Se sumn=1^infty an diverge, então sumn=1^infty an^2 diverge. ( )