Calcule as integrais: integral0^1 / 2 x cos (pi x) d x;

Passo 1

Ok, vamos calcular a integral definida integral0^1 / 2 x cos (pi x) , dx. Esse problema pertence ao tema de Cálculo Integral, mais especificamente à técnica de Integração por Partes. Para resolver, vamos precisar aplicar a fórmula de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão u e dv. No nosso caso, podemos escolher:
  • u = x (porque sua derivada será mais simples)
  • dv = cos(pi x) , dx

Passo 3

Agora, vamos calcular du e v:
  • Derivando u, temos:
du = ddx x , dx = 1 , dx
  • Integrando dv, temos:
v = integral cos(pi x) , dx = sin(pi x)pi
(Não se preocupe com a constante de integração aqui, pois ela será eliminada na integral definida.)

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral0^1 / 2 x cos(pi x) , dx = x cdot sin(pi x)pi |0^1/2 - integral0^1 / 2 sin(pi x)pi cdot 1 , dx
Isso significa que substituímos u, v, du, e dv na fórmula.

Passo 5

Vamos resolver a primeira parte da expressão:
x cdot sin(pi x)pi |0^1/2 = 1/2 cdot sin(pi cdot 1/2)pi - 0 cdot sin(0)pi = 1/2 cdot 1pi - 0 = 12pi
Porque sin(pi/2) = 1 e sin(0) = 0.

Passo 6

Agora, vamos calcular a segunda integral:
integral0^1 / 2 sin(pi x)pi , dx = 1pi integral0^1 / 2 sin(pi x) , dx
A integral de sin(pi x) é:
integral sin(pi x) , dx = -cos(pi x)pi + C
Então, substituindo os limites:
1pi [ -cos(pi x)pi ]0^1/2 = 1pi ( -cos(pi/2)pi + cos(0)pi ) = 1pi ( -0pi + 1pi ) = 1pi^2
Porque cos(pi/2) = 0 e cos(0) = 1.

Passo 7

Agora, juntando tudo:
integral0^1 / 2 x cos(pi x) , dx = 12pi - 1pi^2

Resposta

A integral integral0^1 / 2 x cos (pi x) , dx é igual a 12pi - 1pi^2.

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