Marque Falso ou Verdadeiro em cada uma das sentenças. Justifique as afirmações falsas com um contraexemplo.
Se sumn=1^infty an diverge, então sumn=1^infty an^2 diverge. ( )

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma afirmação sobre séries infinitas: “Se a série sumn=1^infty an diverge, então a série sumn=1^infty an^2 também diverge.” A matéria envolvida aqui são séries infinitas e a convergência ou divergência delas. Vamos precisar entender o que significa uma série divergir e como o termo quadrado afeta isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série sum an diverge se a soma total não tende a um número finito. Por outro lado, se a série sum an converge, a soma tende a um limite específico. Agora, o que acontece quando elevamos os termos ao quadrado?

Passo 3

Vamos analisar com um exemplo. Escolha an = 1raizn. A série sumn=1^infty 1raizn é uma série p, onde p = 12. Sabemos que séries p divergem quando p <= 1. Então, sum 1raizn diverge.

Passo 4

Agora, vamos olhar para a série dos termos ao quadrado: sumn=1^infty (1raizn)^2 = sumn=1^infty 1n. Essa é a famosa série harmônica, que também é uma série p com p = 1. Sabemos que a série harmônica diverge.

Passo 5

Parece que nesse caso tanto a série original quanto a dos termos quadrados divergem. Mas precisamos encontrar uma situação onde a série original diverge e a série dos termos quadrados converge para justificar que a afirmação não é sempre verdadeira.

Passo 6

Vamos escolher an = 1n. A série sumn=1^infty 1n é a série harmônica, que diverge. Agora, a série dos termos quadrados é sumn=1^infty (1n)^2 = sumn=1^infty 1n^2, que sabemos que converge (ela soma para pi^26).

Resposta

Falso.

Exercícios relacionados

Em cada caso, verifique que a função que estende o n-ésimo termo da série satisfaz as hipóteses do Critério da Integral e em seguida determine a natureza da série, ou seja, se é convergente ou divergente.
sumn=1^infty 1(2 n+3)^2
Associe cada série com seu valor, caso convergente. Caso contrário, mostre sua divergência.
sumn=1^infty(23)^n
Associe cada série com seu valor, caso convergente. Caso contrário, mostre sua divergência.
sumn=1^infty 2(35)^n
Associe cada série com seu valor, caso convergente. Caso contrário, mostre sua divergência.
sumn=2^infty 14 n^2-1