Marque Falso ou Verdadeiro em cada uma das sentenças. Justifique as afirmações falsas com um contraexemplo.
Se
diverge, então
diverge. ( )
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma afirmação sobre séries infinitas: “Se a série
diverge, então a série
também diverge.” A matéria envolvida aqui são séries infinitas e a convergência ou divergência delas. Vamos precisar entender o que significa uma série divergir e como o termo quadrado afeta isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série
diverge se a soma total não tende a um número finito. Por outro lado, se a série
converge, a soma tende a um limite específico. Agora, o que acontece quando elevamos os termos ao quadrado?
Passo 3
Vamos analisar com um exemplo. Escolha
. A série
é uma série p, onde
. Sabemos que séries p divergem quando
. Então,
diverge.
Passo 4
Agora, vamos olhar para a série dos termos ao quadrado:
. Essa é a famosa série harmônica, que também é uma série p com
. Sabemos que a série harmônica diverge.
Passo 5
Parece que nesse caso tanto a série original quanto a dos termos quadrados divergem. Mas precisamos encontrar uma situação onde a série original diverge e a série dos termos quadrados converge para justificar que a afirmação não é sempre verdadeira.
Passo 6
Vamos escolher
. A série
é a série harmônica, que diverge. Agora, a série dos termos quadrados é
, que sabemos que converge (ela soma para
).
Resposta
Falso.