Marque Falso ou Verdadeiro em cada uma das sentenças. Justifique as afirmações falsas com um contraexemplo.
Se
diverge, então
diverge. ( )
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma afirmação sobre séries infinitas: “Se a série
diverge, então a série
também diverge.” A matéria envolvida aqui são séries infinitas e a convergência ou divergência delas. Vamos precisar entender o que significa uma série divergir e como o termo quadrado afeta isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série
diverge se a soma total não tende a um número finito. Por outro lado, se a série
converge, a soma tende a um limite específico. Agora, o que acontece quando elevamos os termos ao quadrado?
Passo 3
Vamos analisar com um exemplo. Escolha
. A série
é uma série p, onde
. Sabemos que séries p divergem quando
. Então,
diverge.
Passo 4
Agora, vamos olhar para a série dos termos ao quadrado:
. Essa é a famosa série harmônica, que também é uma série p com
. Sabemos que a série harmônica diverge.
Passo 5
Parece que nesse caso tanto a série original quanto a dos termos quadrados divergem. Mas precisamos encontrar uma situação onde a série original diverge e a série dos termos quadrados converge para justificar que a afirmação não é sempre verdadeira.
Passo 6
Vamos escolher
. A série
é a série harmônica, que diverge. Agora, a série dos termos quadrados é
, que sabemos que converge (ela soma para
).
Resposta
Falso.
Exercícios relacionados
Em cada caso, verifique que a função que estende o n-ésimo termo da série satisfaz as hipóteses do Critério da Integral e em seguida determine a natureza da série, ou seja, se é convergente ou divergente.
Associe cada série com seu valor, caso convergente. Caso contrário, mostre sua divergência.
Associe cada série com seu valor, caso convergente. Caso contrário, mostre sua divergência.
Associe cada série com seu valor, caso convergente. Caso contrário, mostre sua divergência.