Calcule a integral: integral0^2 integral0^pi / 2 x sen y d y d x R: 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: . Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais múltiplas, especificamente uma integral dupla sobre as variáveis e . Vamos precisar usar a técnica de integração iterada, que significa integrar uma variável de cada vez.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar com relação a , mantendo como constante. A integral interna é .

Passo 3

Como x integral0^pi / 2 sen y , dy é constante em relação a , podemos tirar ele da integral:

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a integral sen y , dy = -cos y + C :
Então, avaliando de -cos(pi2) + cos(0) = -0 + 1 = 1 a :

Passo 5

Substituindo de volta na expressão:
x times 1 = x
Então, a integral interna simplifica para .

Passo 6

Agora, vamos integrar com relação a integral0^2 x , dx :

Passo 7

A integral de 12x^2 + C em relação a 12(2)^2 - 12(0)^2 = 12(4) - 0 = 2 é:
Avaliando de a :

Resposta

2

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