Em cada caso, verifique que a função que estende o n-ésimo termo da série satisfaz as hipóteses do Critério da Integral e em seguida determine a natureza da série, ou seja, se é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar a série
usando o Critério da Integral. Isso vai nos ajudar a descobrir se a série é convergente ou divergente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Critério da Integral. Esse critério diz que se temos uma função
que é positiva, decrescente e contínua para
(um certo número natural), então a série
tem o mesmo comportamento da integral
. Ou seja, se a integral converge, a série também converge, e se a integral diverge, a série diverge.
Passo 3
Vamos definir a função
. Precisamos verificar se essa função satisfaz as condições do Critério da Integral:
- Positiva: Para todo
, , então . - Decrescente: Vamos ver se, ao aumentar
, diminui. Se aumenta, aumenta, então diminui. Logo, é decrescente. - Contínua: A função
é contínua para .
Então, a função
atende todas as hipóteses do Critério da Integral.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral
para verificar a convergência da série.
Primeiro, fazemos uma substituição para facilitar a integral. Vamos deixar
, então
ou
.
Substituindo na integral:
Integrando:
Voltando para
:
Passo 5
Agora, vamos avaliar a integral inadequada de 1 a infinito:
Calculando os limites:
A integral resulta em
, que é um número finito. Isso significa que a integral converge.
Resposta
Pela aplicação do Critério da Integral, a série
é convergente.