Em cada caso, verifique que a função que estende o n-ésimo termo da série satisfaz as hipóteses do Critério da Integral e em seguida determine a natureza da série, ou seja, se é convergente ou divergente.
sumn=1^infty 1(2 n+3)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar a série usando o Critério da Integral. Isso vai nos ajudar a descobrir se a série é convergente ou divergente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Critério da Integral. Esse critério diz que se temos uma função que é positiva, decrescente e contínua para (um certo número natural), então a série tem o mesmo comportamento da integral . Ou seja, se a integral converge, a série também converge, e se a integral diverge, a série diverge.

Passo 3

Vamos definir a função . Precisamos verificar se essa função satisfaz as condições do Critério da Integral:
  1. Positiva: Para todo , , então .
  2. Decrescente: Vamos ver se, ao aumentar , diminui. Se aumenta, aumenta, então diminui. Logo, é decrescente.
  3. Contínua: A função é contínua para .
Então, a função atende todas as hipóteses do Critério da Integral.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral integral 1u^2 cdot du2 = 12 integral u^-2 du para verificar a convergência da série.
Primeiro, fazemos uma substituição para facilitar a integral. Vamos deixar 12 ( -u^-1 ) + C = -12u + C , então -12(2x+3) + C ou .
Substituindo na integral:
Integrando:
Voltando para :

Passo 5

Agora, vamos avaliar a integral inadequada de 1 a infinito:
integral1^infty 1(2x+3)^2 dx = limb to infty [ -12(2x+3) ]1^b
Calculando os limites:
= limb to infty ( -12(2b+3) + 12(2 cdot 1 + 3) )
= 0 + 12 cdot 5 = 110
A integral resulta em , que é um número finito. Isso significa que a integral converge.

Resposta

Pela aplicação do Critério da Integral, a série é convergente.

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