Associe cada série com seu valor, caso convergente. Caso contrário, mostre sua divergência.
sumn=1^infty 2(35)^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa série infinita: . O objetivo é descobrir se essa série converge ou diverge e, se convergir, qual é o seu valor. Para isso, vamos usar o conceito de série geométrica, que é uma sequência onde cada termo é uma razão constante vezes o termo anterior.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral:
sumn=0^infty ar^n
onde:
  • sumn=1^infty 2(35)^n = 2sumn=1^infty (35)^n é o primeiro termo da série
  • é a razão comum entre os termos
No nosso caso, a série começa em , então vamos ajustar um pouco:
Aqui, podemos ver que:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a série converge. Para uma série geométrica, ela converge se o valor absoluto da razão |35| = 35 < 1 for menor que 1, ou seja, .
No nosso caso:
Como a razão absoluta é menor que 1, a série converge.

Passo 4

Como a série converge, vamos calcular o seu valor. A soma de uma série geométrica infinita que converge é dada pela fórmula:
S = a1 - r
Lembrando que aqui a = (35)^1 = 35 r = 35 é o primeiro termo da série a partir de S = 351 - 35 = 3525 = 35 times 52 = 32 .
No nosso caso:
Substituindo na fórmula:

Resposta

A série converge e seu valor é .

Exercícios relacionados

Marque Falso ou Verdadeiro em cada uma das sentenças. Justifique as afirmações falsas com um contraexemplo.
Se sumn=1^infty an diverge, então sumn=1^infty an^2 diverge. ( )
Em cada caso, verifique que a função que estende o n-ésimo termo da série satisfaz as hipóteses do Critério da Integral e em seguida determine a natureza da série, ou seja, se é convergente ou divergente.
sumn=1^infty 1(2 n+3)^2
Associe cada série com seu valor, caso convergente. Caso contrário, mostre sua divergência.
sumn=2^infty 14 n^2-1
Em cada caso, verifique que a função que estende o n-ésimo termo da série satisfaz as hipóteses do Critério da Integral e em seguida determine a natureza da série, ou seja, se é convergente ou divergente.
sumn=2^infty 1n(n-1)