Associe cada série com seu valor, caso convergente. Caso contrário, mostre sua divergência.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa série:
. Aqui, estamos lidando com uma série infinita, e nosso objetivo é descobrir se ela converge (isto é, se somando todos os termos, a soma chega a um valor específico) ou diverge (a soma não chega a um valor específico). Para isso, vamos precisar conhecer alguns testes de convergência de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão geral da série:
. Podemos simplificar essa fração fatorando o denominador:
Assim, a fração fica:
Passo 3
Agora, percebemos que a série se assemelha a uma série telescópica, que é um tipo especial de série onde muitos termos se cancelam mutuamente quando somamos. Para aproveitar isso, podemos usar frações parciais para decompor a fração:
Passo 4
Vamos encontrar os valores de
e
:
Resolvendo para
e
, encontramos:
Então, a fração se torna:
Passo 5
Agora, podemos reescrever a série usando essa decomposição:
Essa série telescópica tem termos que se cancelam quando somamos os termos consecutivos.
Passo 6
Vamos escrever os primeiros termos para ver o que acontece:
Observamos que
,
, etc., se cancelam, deixando apenas o primeiro termo não cancelado.
Passo 7
No limite, à medida que
vai para o infinito, o último termo
tende a zero. Portanto, a soma da série converge para:
Resposta
A série
converge e seu valor é
.