Associe cada série com seu valor, caso convergente. Caso contrário, mostre sua divergência.
sumn=2^infty 14 n^2-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa série: . Aqui, estamos lidando com uma série infinita, e nosso objetivo é descobrir se ela converge (isto é, se somando todos os termos, a soma chega a um valor específico) ou diverge (a soma não chega a um valor específico). Para isso, vamos precisar conhecer alguns testes de convergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão geral da série: 4n^2 - 1 = (2n - 1)(2n + 1). Podemos simplificar essa fração fatorando o denominador:
1(2n - 1)(2n + 1)
Assim, a fração fica:

Passo 3

Agora, percebemos que a série se assemelha a uma série telescópica, que é um tipo especial de série onde muitos termos se cancelam mutuamente quando somamos. Para aproveitar isso, podemos usar frações parciais para decompor a fração:
1(2n - 1)(2n + 1) = A2n - 1 + B2n + 1

Passo 4

Vamos encontrar os valores de 1 = A(2n + 1) + B(2n - 1) e A = 12, B = -12:
12(12n - 1 - 12n + 1)
Resolvendo para e , encontramos:
Então, a fração se torna:

Passo 5

Agora, podemos reescrever a série usando essa decomposição:
sumn=2^infty 14n^2 - 1 = 12 sumn=2^infty (12n - 1 - 12n + 1)
Essa série telescópica tem termos que se cancelam quando somamos os termos consecutivos.

Passo 6

Vamos escrever os primeiros termos para ver o que acontece:
12(13 - 15) + 12(15 - 17) + 12(17 - 19) + dots
Observamos que , , etc., se cancelam, deixando apenas o primeiro termo não cancelado.

Passo 7

No limite, à medida que 12 times 13 = 16 vai para o infinito, o último termo tende a zero. Portanto, a soma da série converge para:

Resposta

A série converge e seu valor é .

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