Em cada caso, verifique que a função que estende o n-ésimo termo da série satisfaz as hipóteses do Critério da Integral e em seguida determine a natureza da série, ou seja, se é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série
satisfaz as condições do Critério da Integral e, com isso, determinar se ela converge ou diverge. Para isso, vamos precisar usar o Critério da Integral, que ajuda a decidir a natureza das séries usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Critério da Integral. Ele diz que se temos uma função
que é positiva, decrescente e contínua para
(onde
é algum número inteiro), então a série
converge se e somente se a integral
converge.
No nosso caso, a função que representa o termo geral da série é
. Vamos verificar se ela atende aos requisitos:
- Positiva: Para
, , então . - Decrescente: À medida que
aumenta, o denominador aumenta, então diminui. - Contínua:
é contínua para (exceto em , mas estamos começando em ).
Então, podemos aplicar o Critério da Integral.
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral
.
Primeiro, simplificamos a fração usando frações parciais:
Agora, integremos termo a termo:
Vamos avaliar a integral imprópria:
Simplificando:
Sabemos que
e
que tende a 1 quando
vai para o infinito. Então:
Portanto, a integral converge e é igual a
.
Resposta
Como a integral
converge, pelo Critério da Integral, a série
também converge.