Em cada caso, verifique que a função que estende o n-ésimo termo da série satisfaz as hipóteses do Critério da Integral e em seguida determine a natureza da série, ou seja, se é convergente ou divergente.
sumn=2^infty 1n(n-1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série satisfaz as condições do Critério da Integral e, com isso, determinar se ela converge ou diverge. Para isso, vamos precisar usar o Critério da Integral, que ajuda a decidir a natureza das séries usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Critério da Integral. Ele diz que se temos uma função que é positiva, decrescente e contínua para (onde é algum número inteiro), então a série converge se e somente se a integral converge.
No nosso caso, a função que representa o termo geral da série é . Vamos verificar se ela atende aos requisitos:
  1. Positiva: Para , , então .
  2. Decrescente: À medida que aumenta, o denominador aumenta, então diminui.
  3. Contínua: é contínua para (exceto em , mas estamos começando em ).
Então, podemos aplicar o Critério da Integral.

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral 1x(x-1) = 1x-1 - 1x .
Primeiro, simplificamos a fração usando frações parciais:
integral ( 1x-1 - 1x ) dx = ln|x-1| - ln|x| + C
Agora, integremos termo a termo:
limb to infty [ ln(b-1) - ln(b) ] - [ ln(2-1) - ln(2) ]
Vamos avaliar a integral imprópria:
limb to infty [ ln(b-1b) ] - [ ln(1) - ln(2) ]
Simplificando:
ln(1) - (-ln(2)) = 0 + ln(2) = ln(2)
Sabemos que e que tende a 1 quando vai para o infinito. Então:
Portanto, a integral converge e é igual a .

Resposta

Como a integral converge, pelo Critério da Integral, a série também converge.

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