Em cada caso, verifique que a função que estende o n-ésimo termo da série satisfaz as hipóteses do Critério da Integral e em seguida determine a natureza da série, ou seja, se é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série
satisfaz as condições do Critério da Integral e, com isso, determinar se ela converge ou diverge. Para isso, vamos precisar usar o Critério da Integral, que ajuda a decidir a natureza das séries usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Critério da Integral. Ele diz que se temos uma função
que é positiva, decrescente e contínua para
(onde
é algum número inteiro), então a série
converge se e somente se a integral
converge.
No nosso caso, a função que representa o termo geral da série é
. Vamos verificar se ela atende aos requisitos:
- Positiva: Para
, , então . - Decrescente: À medida que
aumenta, o denominador aumenta, então diminui. - Contínua:
é contínua para (exceto em , mas estamos começando em ).
Então, podemos aplicar o Critério da Integral.
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral
.
Primeiro, simplificamos a fração usando frações parciais:
Agora, integremos termo a termo:
Vamos avaliar a integral imprópria:
Simplificando:
Sabemos que
e
que tende a 1 quando
vai para o infinito. Então:
Portanto, a integral converge e é igual a
.
Resposta
Como a integral
converge, pelo Critério da Integral, a série
também converge.
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Associe cada série com seu valor, caso convergente. Caso contrário, mostre sua divergência.
Associe cada série com seu valor, caso convergente. Caso contrário, mostre sua divergência.
Marque Falso ou Verdadeiro em cada uma das sentenças. Justifique as afirmações falsas com um contraexemplo.
Se e
divergem, então
diverge. ( )
Se
Associe cada série com seu valor, caso convergente. Caso contrário, mostre sua divergência.