Marque Falso ou Verdadeiro em cada uma das sentenças. Justifique as afirmações falsas com um contraexemplo.
Se
e
divergem, então
diverge. ( )
Se
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o enunciado está pedindo. A questão fala sobre séries infinitas, especificamente sobre a convergência ou divergência de duas séries separadas,
e
. Queremos saber se, se ambas as séries originais divergirem, a soma delas,
, também necessariamente diverge. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma série convergir ou divergir e como somar duas séries.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma série convergente e divergente. Uma série
converge se a soma dos seus termos chega a um número finito à medida que adicionamos mais e mais termos. Se a soma não chega a um valor fixo, ou seja, continua aumentando sem limite ou oscila sem parar, dizemos que a série diverge.
Passo 3
Agora, a questão nos diz que tanto
quanto
divergem. A pergunta é: isso implica que a soma das duas séries,
, também deve divergir?
Passo 4
Vamos pensar em um exemplo simples para testar isso. Suponha que:
-
para todo . -
para todo .
Então, temos:
-
que claramente diverge para . -
que também diverge para .
Passo 5
Agora, vamos somar as duas séries:
Essa série resulta em
somado infinitas vezes, o que claramente converge para
.
Resposta
Falso. Por exemplo, se
e
para todo
, ambas as séries
e
divergem, mas
converge para
.
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Em cada caso, verifique que a função que estende o n-ésimo termo da série satisfaz as hipóteses do Critério da Integral e em seguida determine a natureza da série, ou seja, se é convergente ou divergente.
Associe cada série com seu valor, caso convergente. Caso contrário, mostre sua divergência.
Associe cada série com seu valor, caso convergente. Caso contrário, mostre sua divergência.
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