Marque Falso ou Verdadeiro em cada uma das sentenças. Justifique as afirmações falsas com um contraexemplo.
Se sumn=1^infty an e sumn=1^infty bn divergem, então sumn=1^infty(an+bn) diverge. ( )

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o enunciado está pedindo. A questão fala sobre séries infinitas, especificamente sobre a convergência ou divergência de duas séries separadas, sumn=1^infty an e sumn=1^infty bn. Queremos saber se, se ambas as séries originais divergirem, a soma delas, sumn=1^infty(an+bn), também necessariamente diverge. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma série convergir ou divergir e como somar duas séries.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma série convergente e divergente. Uma série sumn=1^infty cn converge se a soma dos seus termos chega a um número finito à medida que adicionamos mais e mais termos. Se a soma não chega a um valor fixo, ou seja, continua aumentando sem limite ou oscila sem parar, dizemos que a série diverge.

Passo 3

Agora, a questão nos diz que tanto sumn=1^infty an quanto sumn=1^infty bn divergem. A pergunta é: isso implica que a soma das duas séries, sumn=1^infty(an+bn), também deve divergir?

Passo 4

Vamos pensar em um exemplo simples para testar isso. Suponha que:
  • an = 1 para todo n.
  • bn = -1 para todo n.
Então, temos:
  • sumn=1^infty an = 1 + 1 + 1 + dots que claramente diverge para +infty.
  • sumn=1^infty bn = (-1) + (-1) + (-1) + dots que também diverge para -infty.

Passo 5

Agora, vamos somar as duas séries:
sumn=1^infty(an+bn) = sumn=1^infty(1 + (-1)) = sumn=1^infty0 = 0 + 0 + 0 + dots
Essa série resulta em 0 somado infinitas vezes, o que claramente converge para 0.

Resposta

Falso. Por exemplo, se an = 1 e bn = -1 para todo n, ambas as séries sum an e sum bn divergem, mas sum (an + bn) = sum 0 converge para 0.

Exercícios relacionados

Em cada caso, verifique que a função que estende o n-ésimo termo da série satisfaz as hipóteses do Critério da Integral e em seguida determine a natureza da série, ou seja, se é convergente ou divergente.
sumn=2^infty 1n(n-1)
Associe cada série com seu valor, caso convergente. Caso contrário, mostre sua divergência.
sumn=2^infty 14 n^2-1
Associe cada série com seu valor, caso convergente. Caso contrário, mostre sua divergência.
sumn=2^infty n^23 n^2+2 n
Em cada caso, verifique que a função que estende o n-ésimo termo da série satisfaz as hipóteses do Critério da Integral e em seguida determine a natureza da série, ou seja, se é convergente ou divergente.
sumn=2^infty 5n(log n)^2