Associe cada série com seu valor, caso convergente. Caso contrário, mostre sua divergência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testar o comportamento dos termos conforme
cresce. Vamos precisar entender o que acontece com os termos da série quando
vai para o infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento do termo geral da série, que é
. Para entender se a série converge, uma técnica simples é calcular o limite desse termo quando
tende ao infinito.
Passo 3
Vamos calcular o limite:
Para facilitar, podemos dividir o numerador e o denominador por
:
À medida que
cresce,
tende a zero:
Passo 4
O limite do termo geral é
, que é diferente de zero. Segundo o Teste da Divergência (ou teste do termo geral), se o limite do termo não for zero, a série não converge.
Resposta
A série
diverge.
Exercícios relacionados
Marque Falso ou Verdadeiro em cada uma das sentenças. Justifique as afirmações falsas com um contraexemplo.
Se e
divergem, então
diverge. ( )
Se
Em cada caso, verifique que a função que estende o n-ésimo termo da série satisfaz as hipóteses do Critério da Integral e em seguida determine a natureza da série, ou seja, se é convergente ou divergente.
Em cada caso, verifique que a função que estende o n-ésimo termo da série satisfaz as hipóteses do Critério da Integral e em seguida determine a natureza da série, ou seja, se é convergente ou divergente.
Calcule as integrais:
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