Associe cada série com seu valor, caso convergente. Caso contrário, mostre sua divergência.
sumn=2^infty n^23 n^2+2 n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testar o comportamento dos termos conforme cresce. Vamos precisar entender o que acontece com os termos da série quando vai para o infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento do termo geral da série, que é . Para entender se a série converge, uma técnica simples é calcular o limite desse termo quando tende ao infinito.

Passo 3

Vamos calcular o limite:
limn to infty n^23n^2 + 2n
Para facilitar, podemos dividir o numerador e o denominador por limn to infty 13 + 2n :
limn to infty 13 + 0 = 13
À medida que cresce, tende a zero:

Passo 4

O limite do termo geral é , que é diferente de zero. Segundo o Teste da Divergência (ou teste do termo geral), se o limite do termo não for zero, a série não converge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados

Marque Falso ou Verdadeiro em cada uma das sentenças. Justifique as afirmações falsas com um contraexemplo.
Se sumn=1^infty an e sumn=1^infty bn divergem, então sumn=1^infty(an+bn) diverge. ( )
Em cada caso, verifique que a função que estende o n-ésimo termo da série satisfaz as hipóteses do Critério da Integral e em seguida determine a natureza da série, ou seja, se é convergente ou divergente.
sumn=2^infty 1n(n-1)
Em cada caso, verifique que a função que estende o n-ésimo termo da série satisfaz as hipóteses do Critério da Integral e em seguida determine a natureza da série, ou seja, se é convergente ou divergente.
sumn=2^infty 5n(log n)^2
Calcule as integrais: integral tan ^5(x) sec ^3(x) d x;