Calcule as integrais:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral que é
. A matéria envolvida aqui são integrais de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas técnicas de integração, como a substituição trigonométrica e a redução de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as funções que estamos lidando. Temos potências ímpares de
e
. Uma boa estratégia aqui é separar alguns termos de
e
para facilitar a substituição.
Passo 3
Vamos reescrever a integral separando
como
. Sabemos que
, então podemos usar isso para simplificar.
Passo 4
Vamos deixar um fator de
e
fora para a substituição. Assim, temos:
Passo 5
Substituímos
por
na expressão:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, fazemos a substituição: deixe
. A derivada de
em relação a
é
. Observamos que temos
na integral, que corresponde a
.
Passo 7
Substituindo na integral, temos:
Expandindo
:
Então, a integral se torna:
Passo 8
Vamos integrar termo a termo:
Então, a integral fica:
Passo 9
Agora, voltamos à variável original substituindo
:
Resposta
A integral de
é:
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Em cada caso, verifique que a função que estende o n-ésimo termo da série satisfaz as hipóteses do Critério da Integral e em seguida determine a natureza da série, ou seja, se é convergente ou divergente.
Associe cada série com seu valor, caso convergente. Caso contrário, mostre sua divergência.
Em cada caso, verifique que a função que estende o n-ésimo termo da série satisfaz as hipóteses do Critério da Integral e em seguida determine a natureza da série, ou seja, se é convergente ou divergente.
Calcule a derivada das funções: