Calcule as integrais: integral tan ^5(x) sec ^3(x) d x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é integral tan^5(x) sec^3(x) , dx. A matéria envolvida aqui são integrais de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas técnicas de integração, como a substituição trigonométrica e a redução de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as funções que estamos lidando. Temos potências ímpares de tan(x) e sec(x). Uma boa estratégia aqui é separar alguns termos de tan(x) e sec(x) para facilitar a substituição.

Passo 3

Vamos reescrever a integral separando tan^4(x) como (tan^2(x))^2. Sabemos que tan^2(x) = sec^2(x) - 1, então podemos usar isso para simplificar.

Passo 4

Vamos deixar um fator de sec(x) e tan(x) fora para a substituição. Assim, temos:
integral tan^5(x) sec^3(x) , dx = integral tan^4(x) sec^2(x) cdot tan(x) sec(x) , dx

Passo 5

Substituímos tan^2(x) por sec^2(x) - 1 na expressão:
tan^4(x) = (tan^2(x))^2 = (sec^2(x) - 1)^2
Então, a integral fica:
integral (sec^2(x) - 1)^2 sec^2(x) cdot tan(x) sec(x) , dx

Passo 6

Agora, fazemos a substituição: deixe u = sec(x). A derivada de u em relação a x é du = sec(x)tan(x) , dx. Observamos que temos sec(x)tan(x) , dx na integral, que corresponde a du.

Passo 7

Substituindo na integral, temos:
integral (u^2 - 1)^2 cdot u^2 , du
Expandindo (u^2 - 1)^2:
(u^2 - 1)^2 = u^4 - 2u^2 + 1
Então, a integral se torna:
integral (u^4 - 2u^2 + 1) cdot u^2 , du = integral (u^6 - 2u^4 + u^2) , du

Passo 8

Vamos integrar termo a termo:
integral u^6 , du = u^77 integral -2u^4 , du = -2 cdot u^55 integral u^2 , du = u^33
Então, a integral fica:
u^77 - 2u^55 + u^33 + C

Passo 9

Agora, voltamos à variável original substituindo u = sec(x):
sec^7(x)7 - 2sec^5(x)5 + sec^3(x)3 + C

Resposta

A integral de tan^5(x) sec^3(x) , dx é:
sec^7(x)7 - 2sec^5(x)5 + sec^3(x)3 + C

Exercícios relacionados

Em cada caso, verifique que a função que estende o n-ésimo termo da série satisfaz as hipóteses do Critério da Integral e em seguida determine a natureza da série, ou seja, se é convergente ou divergente.
sumn=2^infty 5n(log n)^2
Associe cada série com seu valor, caso convergente. Caso contrário, mostre sua divergência.
sumn=2^infty n^23 n^2+2 n
Em cada caso, verifique que a função que estende o n-ésimo termo da série satisfaz as hipóteses do Critério da Integral e em seguida determine a natureza da série, ou seja, se é convergente ou divergente.
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