Em cada caso, verifique que a função que estende o n-ésimo termo da série satisfaz as hipóteses do Critério da Integral e em seguida determine a natureza da série, ou seja, se é convergente ou divergente.
sumn=2^infty 5n(log n)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a série
sumn=2^infty 5n(log n)^2
é convergente ou divergente usando o Critério da Integral. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas e integrais, especialmente como relacionar somas com integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que está relacionada ao termo geral da série. No caso, a função . Precisamos verificar se essa função satisfaz as condições do Critério da Integral:
  1. Positiva: A função deve ser maior que zero para todo no intervalo de interesse.
  2. Decrescente: A função deve estar diminuindo conforme aumenta.
  3. Contínua: A função deve ser contínua no intervalo considerado.

Passo 3

Vamos verificar cada uma dessas condições:
  1. Positiva: Para f'(x) = ddx(5x(log x)^2) = -5[(log x)^2 + 2log x]x^2(log x)^4 < 0 para x > 2 , e , então .
  2. Decrescente: Vamos verificar se está diminuindo. Derivando em relação a , temos:
Isso mostra que é decrescente para .
  1. Contínua: A função é contínua para , já que o denominador nunca é zero nesse intervalo.
Como a função satisfaz todas as condições do Critério da Integral, podemos aplicar o teste.

Passo 4

Agora, vamos aplicar o Critério da Integral, que nos diz que a série
sumn=2^infty f(n)
converge se e somente se a integral correspondente
integral2^infty 5x(log x)^2 , dx
converge.
Vamos calcular essa integral.

Passo 5

Para resolver a integral
integral 5x(log x)^2 , dx,
fazemos uma substituição du = 1x , dx Rightarrow dx = x , du = e^u , du . Assim,
integral 5x u^2 cdot e^u , du = 5 integral e^ux u^2 , du
Substituindo na integral:
5 integral e^ue^u u^2 , du = 5 integral 1u^2 , du = 5 integral u^-2 , du
Mas como 5 ( -u^-1 ) + C = -5u + C = -5log x + C , isso simplifica para:
Integrando:

Passo 6

Agora, avaliamos a integral imprópria de 2 até o infinito:
integral2^infty 5x(log x)^2 , dx = limb to infty ( -5log b + 5log 2 )
Quando limb to infty ( -5log b + 5log 2 ) = 5log 2 , , então . Portanto:
Como o resultado é um número finito, a integral converge.

Resposta

A série
sumn=2^infty 5n(log n)^2
é convergente pelo Critério da Integral.

Exercícios relacionados

Associe cada série com seu valor, caso convergente. Caso contrário, mostre sua divergência.
sumn=2^infty n^23 n^2+2 n
Marque Falso ou Verdadeiro em cada uma das sentenças. Justifique as afirmações falsas com um contraexemplo.
Se sumn=1^infty an e sumn=1^infty bn divergem, então sumn=1^infty(an+bn) diverge. ( )
Calcule as integrais: integral tan ^5(x) sec ^3(x) d x;
Em cada caso, verifique que a função que estende o n-ésimo termo da série satisfaz as hipóteses do Critério da Integral e em seguida determine a natureza da série, ou seja, se é convergente ou divergente.
sumn=1^infty 2 n^2n^3+1