Em cada caso, verifique que a função que estende o n-ésimo termo da série satisfaz as hipóteses do Critério da Integral e em seguida determine a natureza da série, ou seja, se é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a série
é convergente ou divergente usando o Critério da Integral. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas e integrais, especialmente como relacionar somas com integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que está relacionada ao termo geral da série. No caso, a função
. Precisamos verificar se essa função satisfaz as condições do Critério da Integral:
- Positiva: A função deve ser maior que zero para todo
no intervalo de interesse. - Decrescente: A função deve estar diminuindo conforme
aumenta. - Contínua: A função deve ser contínua no intervalo considerado.
Passo 3
Vamos verificar cada uma dessas condições:
-
Positiva: Para
, e , então . -
Decrescente: Vamos verificar se
está diminuindo. Derivando em relação a , temos:
Isso mostra que
é decrescente para
.
- Contínua: A função
é contínua para , já que o denominador nunca é zero nesse intervalo.
Como a função
satisfaz todas as condições do Critério da Integral, podemos aplicar o teste.
Passo 4
Agora, vamos aplicar o Critério da Integral, que nos diz que a série
converge se e somente se a integral correspondente
converge.
Vamos calcular essa integral.
Passo 5
Para resolver a integral
fazemos uma substituição
. Assim,
Substituindo na integral:
Mas como
, isso simplifica para:
Integrando:
Passo 6
Agora, avaliamos a integral imprópria de 2 até o infinito:
Quando
,
, então
. Portanto:
Como o resultado é um número finito, a integral converge.
Resposta
A série
é convergente pelo Critério da Integral.