Em cada caso, verifique que a função que estende o n-ésimo termo da série satisfaz as hipóteses do Critério da Integral e em seguida determine a natureza da série, ou seja, se é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a série
é convergente ou divergente usando o Critério da Integral. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas e integrais, especialmente como relacionar somas com integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que está relacionada ao termo geral da série. No caso, a função
. Precisamos verificar se essa função satisfaz as condições do Critério da Integral:
- Positiva: A função deve ser maior que zero para todo
no intervalo de interesse. - Decrescente: A função deve estar diminuindo conforme
aumenta. - Contínua: A função deve ser contínua no intervalo considerado.
Passo 3
Vamos verificar cada uma dessas condições:
-
Positiva: Para
, e , então . -
Decrescente: Vamos verificar se
está diminuindo. Derivando em relação a , temos:
Isso mostra que
é decrescente para
.
- Contínua: A função
é contínua para , já que o denominador nunca é zero nesse intervalo.
Como a função
satisfaz todas as condições do Critério da Integral, podemos aplicar o teste.
Passo 4
Agora, vamos aplicar o Critério da Integral, que nos diz que a série
converge se e somente se a integral correspondente
converge.
Vamos calcular essa integral.
Passo 5
Para resolver a integral
fazemos uma substituição
. Assim,
Substituindo na integral:
Mas como
, isso simplifica para:
Integrando:
Passo 6
Agora, avaliamos a integral imprópria de 2 até o infinito:
Quando
,
, então
. Portanto:
Como o resultado é um número finito, a integral converge.
Resposta
A série
é convergente pelo Critério da Integral.
Exercícios relacionados
Associe cada série com seu valor, caso convergente. Caso contrário, mostre sua divergência.
Marque Falso ou Verdadeiro em cada uma das sentenças. Justifique as afirmações falsas com um contraexemplo.
Se e
divergem, então
diverge. ( )
Se
Calcule as integrais:
;
Em cada caso, verifique que a função que estende o n-ésimo termo da série satisfaz as hipóteses do Critério da Integral e em seguida determine a natureza da série, ou seja, se é convergente ou divergente.