Associe cada série com seu valor, caso convergente. Caso contrário, mostre sua divergência.
sumn=1^infty 39 n^2+3 n-2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma série infinita para analisar:
sumn=1^infty 39n^2 + 3n - 2
Nosso objetivo é descobrir se essa série converge (tem um valor finito) ou diverge (não tem limite). Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas, testes de convergência e frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração:
9n^2 + 3n - 2
Vamos tentar fatorar esse polinômio. Procuramos dois números que multiplicados dão 6 times (-3) = -18 e 6 + (-3) = 3 e que somados dão 9n^2 + 6n - 3n - 2 = 3n(3n + 2) -1(3n + 2) = (3n - 1)(3n + 2) .
Esses números são 9n^2 + 3n - 2 = (3n - 1)(3n + 2) e , porque:
Então, reescrevemos o polinômio:
Assim, o denominador fatorado fica:

Passo 3

Agora, a fração original fica:
3(3n - 1)(3n + 2)
Vamos decompor essa fração em frações parciais. Queremos encontrar constantes 3(3n - 1)(3n + 2) = A3n - 1 + B3n + 2 e 3 = A(3n + 2) + B(3n - 1) tais que:
3 = A(3 times 13 + 2) + B(0) Rightarrow 3 = A(1 + 2) Rightarrow 3 = 3A Rightarrow A = 1
Multiplicando ambos os lados pela expressão 3 = A(0) + B(3 times -23 - 1) Rightarrow 3 = B(-2 - 1) Rightarrow 3 = -3B Rightarrow B = -1 , temos:
3(3n - 1)(3n + 2) = 13n - 1 - 13n + 2
Para encontrar e , podemos escolher valores de que simplifiquem a equação.
  • Se :
  • Se :
Então, e . Portanto:

Passo 4

Agora, nossa série original fica:
sumn=1^infty ( 13n - 1 - 13n + 2 )
Essa é uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam. Vamos ver como isso funciona.

Passo 5

Vamos expandir os primeiros termos da série para identificar o padrão:
&( 12 - 15 ) + ( 15 - 18 ) + ( 18 - 111 ) + cdots &= 12 - 15 + 15 - 18 + 18 - 111 + cdots
Vemos que 12 - limn to infty 13n + 2 e se cancelam, o mesmo acontece com e , e assim por diante. O que resta é:

Passo 6

Calculando o limite:
limn to infty 13n + 2 = 0
Então, a soma da série é:
12 - 0 = 12

Resposta

A série é convergente e seu valor é .

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