Associe cada série com seu valor, caso convergente. Caso contrário, mostre sua divergência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma série infinita para analisar:
Nosso objetivo é descobrir se essa série converge (tem um valor finito) ou diverge (não tem limite). Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas, testes de convergência e frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração:
Vamos tentar fatorar esse polinômio. Procuramos dois números que multiplicados dão
e que somados dão
.
Esses números são
e
, porque:
Então, reescrevemos o polinômio:
Assim, o denominador fatorado fica:
Passo 3
Agora, a fração original fica:
Vamos decompor essa fração em frações parciais. Queremos encontrar constantes
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados pela expressão
, temos:
Para encontrar
e
, podemos escolher valores de
que simplifiquem a equação.
- Se
:
- Se
:
Então,
e
. Portanto:
Passo 4
Agora, nossa série original fica:
Essa é uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam. Vamos ver como isso funciona.
Passo 5
Vamos expandir os primeiros termos da série para identificar o padrão:
Vemos que
e
se cancelam, o mesmo acontece com
e
, e assim por diante. O que resta é:
Passo 6
Calculando o limite:
Então, a soma da série é:
Resposta
A série é convergente e seu valor é
.
Exercícios relacionados
Calcule a derivada das funções:
Determine o valor dos seguintes limites:
(l) .
(l)
Limites que representam a taxa de variação instantânea
aparecem frequentemente. Determine esta taxa (este limite) para os seguintes casos:
(a) , no ponto
.
(a)
Dada a função
, calcule
.