Limites que representam a taxa de variação instantânea lim h 0 f(x+h)-f(x)h aparecem frequentemente. Determine esta taxa (este limite) para os seguintes casos:
(a) f(x)=x^2, no ponto x=-2.

Passo 1

O exercício pede para a gente calcular a taxa de variação instantânea da função no ponto . Isso significa que vamos usar o limite . Para resolver isso, precisamos entender o que é uma taxa de variação instantânea e como aplicar o conceito de limite.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir na fórmula do limite. Sabemos que , então .

Passo 3

Agora, vamos substituir f(-2 + h) = (-2 + h)^2 na expressão. Assim, temos:
f(-2) = (-2)^2 = 4

Passo 4

Substituímos esses valores na fórmula do limite:
limh to 0 (-2 + h)^2 - 4h

Passo 5

Vamos expandir (-2 + h)^2 = (-2)^2 + 2 cdot (-2) cdot h + h^2 = 4 - 4h + h^2 :
limh to 0 4 - 4h + h^2 - 4h = limh to 0 -4h + h^2h
Substituindo de volta na expressão do limite:

Passo 6

Agora, simplificamos a fração dividindo cada termo por -4h + h^2h = -4 + h :

Passo 7

Por fim, aplicamos o limite limh to 0 (-4 + h) = -4 + 0 = -4 :

Resposta

A taxa de variação instantânea de no ponto é igual a .

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