Limites que representam a taxa de variação instantânea
aparecem frequentemente. Determine esta taxa (este limite) para os seguintes casos:
(a)
, no ponto
.
(a)
Passo 1
O exercício pede para a gente calcular a taxa de variação instantânea da função
no ponto
. Isso significa que vamos usar o limite
. Para resolver isso, precisamos entender o que é uma taxa de variação instantânea e como aplicar o conceito de limite.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
na fórmula do limite. Sabemos que
, então
.
Passo 3
Agora, vamos substituir
na expressão. Assim, temos:
Passo 4
Substituímos esses valores na fórmula do limite:
Passo 5
Vamos expandir
:
Substituindo de volta na expressão do limite:
Passo 6
Agora, simplificamos a fração dividindo cada termo por
:
Passo 7
Por fim, aplicamos o limite
:
Resposta
A taxa de variação instantânea de
no ponto
é igual a
.
Exercícios relacionados
Associe cada série com seu valor, caso convergente. Caso contrário, mostre sua divergência.
Calcule a derivada das funções:
Dada a função
, calcule
.
Marque Falso ou Verdadeiro em cada uma das sentenças. Justifique as afirmações falsas com um contraexemplo.
Se , então
converge. ( )
Se