Determine o valor dos seguintes limites:
(l) lim x 2 4 x-x^22-raizx.

Passo 1

Então, temos que calcular o limite quando se aproxima de 2 da expressão . Isso faz parte do estudo de limites, que é uma parte fundamental do cálculo. Para resolver isso, vamos precisar conhecer técnicas de simplificação de expressões e, possivelmente, a regra de l’Hôpital se encontrarmos uma forma indeterminada.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir 4(2) - (2)^22 - raiz2 = 8 - 42 - raiz2 = 42 - raiz2 diretamente na expressão para ver o que acontece:
2 - raiz2 approx 2 - 1,414 = 0,586
Parece que conseguimos um valor numérico, mas precisamos garantir que o denominador não seja zero. Vamos verificar:
Como o denominador não é zero, o limite existe e podemos simplificar a fração.

Passo 3

Agora, vamos racionalizar o denominador para simplificar a expressão. Racionalizar significa eliminar a raiz do denominador multiplicando o numerador e o denominador pela expressão conjugada do denominador. A conjugada de 42 - raiz2 times 2 + raiz22 + raiz2 = 4(2 + raiz2)(2 - raiz2)(2 + raiz2) é .
Multiplicamos:

Passo 4

Vamos calcular o denominador usando a identidade (2 - raiz2)(2 + raiz2) = 2^2 - (raiz2)^2 = 4 - 2 = 2 :

Passo 5

Agora, substituímos de volta na fração:
4(2 + raiz2)2 = 2(2 + raiz2) = 4 + 2raiz2

Resposta

Portanto, o limite é .

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Calcule a derivada das funções:
f(x) = sen(3x) - cos(2x)
Em cada caso, verifique que a função que estende o n-ésimo termo da série satisfaz as hipóteses do Critério da Integral e em seguida determine a natureza da série, ou seja, se é convergente ou divergente.
sumn=1^infty 2 n^2n^3+1
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f(x) = cos(6x) - 6 sen(6x)
Associe cada série com seu valor, caso convergente. Caso contrário, mostre sua divergência.
sumn=1^infty 39 n^2+3 n-2