Determine o valor dos seguintes limites:
(l)
.
(l)
Passo 1
Então, temos que calcular o limite quando
se aproxima de 2 da expressão
. Isso faz parte do estudo de limites, que é uma parte fundamental do cálculo. Para resolver isso, vamos precisar conhecer técnicas de simplificação de expressões e, possivelmente, a regra de l’Hôpital se encontrarmos uma forma indeterminada.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
diretamente na expressão para ver o que acontece:
Parece que conseguimos um valor numérico, mas precisamos garantir que o denominador não seja zero. Vamos verificar:
Como o denominador não é zero, o limite existe e podemos simplificar a fração.
Passo 3
Agora, vamos racionalizar o denominador para simplificar a expressão. Racionalizar significa eliminar a raiz do denominador multiplicando o numerador e o denominador pela expressão conjugada do denominador. A conjugada de
é
.
Multiplicamos:
Passo 4
Vamos calcular o denominador usando a identidade
:
Passo 5
Agora, substituímos de volta na fração:
Resposta
Portanto, o limite é
.
Exercícios relacionados
Calcule a derivada das funções:
Em cada caso, verifique que a função que estende o n-ésimo termo da série satisfaz as hipóteses do Critério da Integral e em seguida determine a natureza da série, ou seja, se é convergente ou divergente.
Calcule a derivada das funções:
Associe cada série com seu valor, caso convergente. Caso contrário, mostre sua divergência.