Associe cada série com seu valor, caso convergente. Caso contrário, mostre sua divergência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar a série infinita . Vamos trabalhar com o conteúdo de séries numéricas e testes de convergência. Para resolver, vamos precisar entender como avaliar se uma série converge ou diverge, especialmente usando o teste da divergência.

Passo 2

Primeiro, precisamos analisar o termo geral da série, que é . Nosso objetivo é descobrir o que acontece com esse termo quando fica cada vez maior, ou seja, quando tende ao infinito.

Passo 3

Vamos calcular o limite do termo geral quando vai para o infinito:
Podemos simplificar a fração dentro do parêntese:
Então, a expressão fica:

Passo 4

Sabemos que tende a quando vai para o infinito. No nosso caso, temos como , então:
Portanto:

Passo 5

O valor de é aproximadamente 0,0498, que é um número positivo diferente de zero. Segundo o teste da divergência, se o limite do termo geral de uma série não for zero, a série não converge.

Resposta

A série diverge.

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Determine os seguintes limites:
(b) .
Seja uma função real de uma variável real derivável, satisfazendo . Se , qual o valor de
Determine os seguintes limites:
(x) .
Marque Falso ou Verdadeiro em cada uma das sentenças. Justifique as afirmações falsas com um contraexemplo.
Se converge, então converge. ( )