Associe cada série com seu valor, caso convergente. Caso contrário, mostre sua divergência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar a série infinita
. Vamos trabalhar com o conteúdo de séries numéricas e testes de convergência. Para resolver, vamos precisar entender como avaliar se uma série converge ou diverge, especialmente usando o teste da divergência.
Passo 2
Primeiro, precisamos analisar o termo geral da série, que é
. Nosso objetivo é descobrir o que acontece com esse termo quando
fica cada vez maior, ou seja, quando
tende ao infinito.
Passo 3
Vamos calcular o limite do termo geral quando
vai para o infinito:
Podemos simplificar a fração dentro do parêntese:
Então, a expressão fica:
Passo 4
Sabemos que
tende a
quando
vai para o infinito. No nosso caso, temos
como
, então:
Portanto:
Passo 5
O valor de
é aproximadamente 0,0498, que é um número positivo diferente de zero. Segundo o teste da divergência, se o limite do termo geral de uma série não for zero, a série não converge.
Resposta
A série
diverge.
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Determine os seguintes limites:
(b) .
(b)
Seja
uma função real de uma variável real derivável, satisfazendo
. Se
, qual o valor de
Determine os seguintes limites:
(x) .
(x)
Marque Falso ou Verdadeiro em cada uma das sentenças. Justifique as afirmações falsas com um contraexemplo.
Se converge, então
converge. ( )
Se