Determine os seguintes limites:
(x) lim x -infty(x+32 x+5)^x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para encontrar o limite de quando tende a . Vamos usar conceitos de limites e propriedades de potências para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a fração dentro da potência: x+32x+5 approx x2x = 12 . Quando tende a , os termos de maior grau no numerador e no denominador (que são os termos com ) dominam o comportamento da fração. Então, podemos simplificar a fração ignorando os termos constantes:

Passo 3

Agora, substituímos essa aproximação na expressão original:
(x+32x+5)^x^2 approx (12)^x^2

Passo 4

Sabemos que (12)^x^2 0 quando x^2 +infty é um número entre 0 e 1. Quando elevamos um número entre 0 e 1 a uma potência que tende ao infinito, o resultado tende a 0. No nosso caso, tende a porque, independentemente do sinal de , o quadrado de é sempre positivo e cresce sem limite.

Passo 5

Portanto, concluímos que o limite da expressão original é 0.

Resposta

lim x -infty(x+32 x+5)^x^2 = 0

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