Seja phi uma função real de uma variável real derivável, satisfazendo phi'(1) = 4. Se f(x, y) = phi(x/y), qual o valor de f_x(1,1) + f_y(1,1)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que depende de uma variável real e que é diferenciável. Sabemos que a derivada de no ponto 1 é 4, ou seja, . A função é definida como de . O que precisamos encontrar é a soma das derivadas parciais de em relação a e no ponto (1,1), ou seja, . Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , denotada por . Como , podemos considerar como uma função interna. Usando a regra da cadeia, temos:
Agora, derivando em relação a :
Então:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , denotada por . Novamente, usando a regra da cadeia:
Derivando em relação a :
Portanto:

Passo 4

Agora que temos as expressões para e , vamos avaliar essas derivadas no ponto (1,1).
Primeiro, para :
Em seguida, para :

Resposta

Somando as derivadas, temos:
O valor procurado é 0.

Exercícios relacionados

Usando os limites fundamentais:
y = sen(x^2)
y = sen(x^2) calcule:
(i) .
Para cada uma das funções z = f(x, y) definidas abaixo, calcule , e
e)
Determine os seguintes limites:
(b) .
Associe cada série com seu valor, caso convergente. Caso contrário, mostre sua divergência.