Seja
uma função real de uma variável real derivável, satisfazendo
. Se
, qual o valor de
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
que depende de uma variável real e que é diferenciável. Sabemos que a derivada de
no ponto 1 é 4, ou seja,
. A função
é definida como
de
. O que precisamos encontrar é a soma das derivadas parciais de
em relação a
e
no ponto (1,1), ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, denotada por
. Como
, podemos considerar
como uma função interna. Usando a regra da cadeia, temos:
Agora, derivando
em relação a
:
Então:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, denotada por
. Novamente, usando a regra da cadeia:
Derivando
em relação a
:
Portanto:
Passo 4
Agora que temos as expressões para
e
, vamos avaliar essas derivadas no ponto (1,1).
Primeiro, para
:
Em seguida, para
:
Resposta
Somando as derivadas, temos:
O valor procurado é 0.
Exercícios relacionados
Usando os limites fundamentais:
(i)
Para cada uma das funções
definidas abaixo, calcule
,
e
e)
e)
Determine os seguintes limites:
(b) .
(b)
Associe cada série com seu valor, caso convergente. Caso contrário, mostre sua divergência.