Associe cada série com seu valor, caso convergente. Caso contrário, mostre sua divergência.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma série infinita, que é a soma de termos da forma
para
indo de 1 até o infinito. Nosso objetivo é determinar se essa série converge (ou seja, se ela soma a um valor finito) ou diverge (não soma a um valor finito). Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos de séries infinitas e entender como identificar se uma série converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa uma série convergir ou divergir. Uma série converge se a soma dos seus termos se aproxima de um número específico à medida que adicionamos mais e mais termos. Caso contrário, dizemos que a série diverge.
Um exemplo clássico de série é a série harmônica, que é a soma dos termos
para
de 1 até o infinito:
Essa série é conhecida por divergir, ou seja, não se aproxima de nenhum valor finito.
Passo 3
Agora, vamos aplicar esse conhecimento à série que nos foi dada:
Podemos observar que
é simplesmente 2 vezes
. Então, nossa série é:
Isso significa que estamos multiplicando a série harmônica por 2.
Passo 4
Sabemos que a série harmônica
diverge. Multiplicar uma série divergente por uma constante diferente de zero (neste caso, 2) não muda o fato de que a série diverge. Portanto, a série dada também divergirá.
Resposta
A série
diverge.
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Marque Falso ou Verdadeiro em cada uma das sentenças. Justifique as afirmações falsas com um contraexemplo.
Se diverge, então
. (
)
Se