Marque Falso ou Verdadeiro em cada uma das sentenças. Justifique as afirmações falsas com um contraexemplo.
Se
diverge, então
. (
)
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para marcarmos cada sentença como Verdadeiro ou Falso e, se for falsa, justificar com um contraexemplo. O conteúdo aqui envolve séries infinitas e limites. Para resolver, vamos precisar entender quando uma série converge ou diverge e qual a relação disso com o limite dos termos gerais da série.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar um conceito importante: Se a soma de uma série infinita
converge, então o limite dos termos
quando
vai para o infinito é zero, ou seja,
. Isso é uma condição necessária para a convergência da série, mas não é suficiente.
Passo 3
Agora, olhando para o enunciado: “Se
diverge, então
.” Vamos analisar se isso sempre é verdade.
Passo 4
Pense em uma série conhecida que diverge mesmo com o limite dos termos sendo zero. Um exemplo clássico é a série harmônica:
Aqui,
, mas a série diverge. Isso ocorre porque, apesar de os termos se aproximarem de zero, eles não diminuem rápido o suficiente para que a soma total seja finita.
Passo 5
Portanto, o fato de a série divergir não implica necessariamente que o limite dos termos seja diferente de zero. Existem casos onde a série diverge mesmo quando
.
Resposta
Falso. Por exemplo, a série harmônica
diverge, mas
.