Marque Falso ou Verdadeiro em cada uma das sentenças. Justifique as afirmações falsas com um contraexemplo.
Se sumn=1^infty an diverge, então lim n infty an neq 0. ( v )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para marcarmos cada sentença como Verdadeiro ou Falso e, se for falsa, justificar com um contraexemplo. O conteúdo aqui envolve séries infinitas e limites. Para resolver, vamos precisar entender quando uma série converge ou diverge e qual a relação disso com o limite dos termos gerais da série.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar um conceito importante: Se a soma de uma série infinita sumn=1^infty an converge, então o limite dos termos an quando n vai para o infinito é zero, ou seja, limn to infty an = 0. Isso é uma condição necessária para a convergência da série, mas não é suficiente.

Passo 3

Agora, olhando para o enunciado: “Se sumn=1^infty an diverge, então limn to infty an neq 0.” Vamos analisar se isso sempre é verdade.

Passo 4

Pense em uma série conhecida que diverge mesmo com o limite dos termos sendo zero. Um exemplo clássico é a série harmônica:
sumn=1^infty 1n
Aqui, limn to infty 1n = 0, mas a série diverge. Isso ocorre porque, apesar de os termos se aproximarem de zero, eles não diminuem rápido o suficiente para que a soma total seja finita.

Passo 5

Portanto, o fato de a série divergir não implica necessariamente que o limite dos termos seja diferente de zero. Existem casos onde a série diverge mesmo quando limn to infty an = 0.

Resposta

Falso. Por exemplo, a série harmônica sumn=1^infty 1n diverge, mas limn to infty 1n = 0.

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