Mostre que as funções seguintes são densidades de probabilidades e encontre o valor esperado de cada densidade.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a função dada é uma densidade de probabilidade e depois encontrar o valor esperado dela. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo e probabilidade, mas de um jeito bem tranquilo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma densidade de probabilidade. Uma função é uma densidade de probabilidade se atender duas condições:
  1. Não-negatividade: para todo .
  2. Integral igual a 1: A área total sob a curva de deve ser 1, ou seja, .
Vamos checar essas duas condições para a função dada.

Passo 3

1. Verificando a não-negatividade:
A função dada é:
Para , é sempre positivo, e multiplicando por 5 continua positivo. Para , a função é zero. Assim, para todo . A primeira condição está satisfeita.
2. Verificando a integral igual a 1:
Vamos calcular a integral de de até :
A função é zero para , então só precisamos integrar de 0 a .
Sabemos que:
Para :
Então, a integral total é 1. A segunda condição também está satisfeita.

Passo 4

Agora que mostramos que é uma densidade de probabilidade, vamos encontrar o valor esperado . O valor esperado é dado por:
De novo, como para , a integral fica:
Para resolver essa integral, podemos usar a fórmula da integração por partes ou lembrar que, para uma distribuição exponencial com parâmetro , o valor esperado é . Aqui, , então:

Resposta

A função é uma densidade de probabilidade válida e o seu valor esperado é .

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