Mostre que as funções seguintes são densidades de probabilidades e encontre o valor esperado de cada densidade.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a função dada é uma densidade de probabilidade e depois encontrar o valor esperado dela. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo e probabilidade, mas de um jeito bem tranquilo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma densidade de probabilidade. Uma função
é uma densidade de probabilidade se atender duas condições:
- Não-negatividade:
para todo . - Integral igual a 1: A área total sob a curva de
deve ser 1, ou seja, .
Vamos checar essas duas condições para a função dada.
Passo 3
1. Verificando a não-negatividade:
A função dada é:
Para
,
é sempre positivo, e multiplicando por 5 continua positivo. Para
, a função é zero. Assim,
para todo
. A primeira condição está satisfeita.
2. Verificando a integral igual a 1:
Vamos calcular a integral de
de
até
:
A função é zero para
, então só precisamos integrar de 0 a
.
Sabemos que:
Para
:
Então, a integral total é 1. A segunda condição também está satisfeita.
Passo 4
Agora que mostramos que
é uma densidade de probabilidade, vamos encontrar o valor esperado
. O valor esperado é dado por:
De novo, como
para
, a integral fica:
Para resolver essa integral, podemos usar a fórmula da integração por partes ou lembrar que, para uma distribuição exponencial com parâmetro
, o valor esperado é
. Aqui,
, então:
Resposta
A função
é uma densidade de probabilidade válida e o seu valor esperado é
.
Exercícios relacionados
Calcule aeguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes.
Mostre que as funções seguintes são densidades de probabilidades e encontre o valor esperado de cada densidade.
Associe cada série com seu valor, caso convergente. Caso contrário, mostre sua divergência.
A função não-negativa
é chamada a densidade de probabilidade se
A probabilidade de um número, escolhido ao acaso, fica no intervalo
é dada por
O valor esperado ou esperança de escolher um número ao acaso é dado por
Mostre que as funções seguintes são densidades de probabilidades e encontre o valor esperado de cada densidade.