A função não-negativa
é chamada a densidade de probabilidade se
A probabilidade de um número, escolhido ao acaso, fica no intervalo
é dada por
O valor esperado ou esperança de escolher um número ao acaso é dado por
Mostre que as funções seguintes são densidades de probabilidades e encontre o valor esperado de cada densidade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que certas funções são densidades de probabilidade e encontrar o valor esperado de cada uma delas. Isso está dentro do conteúdo de Probabilidade, mais especificamente sobre Funções de Densidade de Probabilidade. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma densidade de probabilidade e como calcular integrais para verificar as condições e encontrar o valor esperado.
Passo 2
Primeiro, lembra que uma função
é densidade de probabilidade se:
- Ela é não-negativa para todo
. - A integral dela em todo o domínio é igual a 1, ou seja:
Então, para cada função que vamos analisar, vamos verificar esses dois pontos.
Passo 3
Exemplo de Função 1:
Vamos supor que a primeira função seja:
Verificando se é uma densidade de probabilidade:
-
Não-negatividade:
- Para
, . - Fora desse intervalo,
, que também é não-negativo.
- Para
-
Integral igual a 1:
- Calculamos a integral de
de 0 a 1: - Portanto, a integral é igual a 1.
- Calculamos a integral de
Então,
é uma densidade de probabilidade.
Passo 4
Calculando o Valor Esperado para Função 1:
O valor esperado
é dado por:
Como
fora de
, basta calcular de 0 a 1:
Então, o valor esperado é
.
Passo 5
Exemplo de Função 2:
Vamos agora supor uma segunda função:
Verificando se é uma densidade de probabilidade:
-
Não-negatividade:
- Para
, . - Fora desse intervalo,
, que também é não-negativo.
- Para
-
Integral igual a 1:
- Calculamos a integral de
de -1 a 1: - Portanto, a integral é igual a 1.
- Calculamos a integral de
Assim,
também é uma densidade de probabilidade.
Passo 6
Calculando o Valor Esperado para Função 2:
Usando a fórmula do valor esperado:
Como
fora de
, calculamos de -1 a 1:
Então, o valor esperado é 0.
Resposta
As funções apresentadas são densidades de probabilidade e seus valores esperados são:
-
Para
no intervalo : - Valor Esperado
.
- Valor Esperado
-
Para
no intervalo : - Valor Esperado
.
- Valor Esperado
Exercícios relacionados
Associe cada série com seu valor, caso convergente. Caso contrário, mostre sua divergência.
Mostre que as funções seguintes são densidades de probabilidades e encontre o valor esperado de cada densidade.
Marque Falso ou Verdadeiro em cada uma das sentenças. Justifique as afirmações falsas com um contraexemplo.
Se diverge, então
. (
)
Se
Calcule o volume da região limitada abaixo do cone
e acima do semicírculo
e pelo plano
. Use coordenadas cilíndricas para calcular a integral (ilustre a região de integração)