A função não-negativa f é chamada a densidade de probabilidade se
integral-infty^infty f(x) d t=1
A probabilidade de um número, escolhido ao acaso, fica no intervalo [a, b] é dada por
P(a <= x <= b)=integrala^b f(x) d x
O valor esperado ou esperança de escolher um número ao acaso é dado por
E=integral-infty^infty x f(x) d x
Mostre que as funções seguintes são densidades de probabilidades e encontre o valor esperado de cada densidade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que certas funções são densidades de probabilidade e encontrar o valor esperado de cada uma delas. Isso está dentro do conteúdo de Probabilidade, mais especificamente sobre Funções de Densidade de Probabilidade. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma densidade de probabilidade e como calcular integrais para verificar as condições e encontrar o valor esperado.

Passo 2

Primeiro, lembra que uma função integral-infty^infty f(x) dx = 1 é densidade de probabilidade se:
  1. Ela é não-negativa para todo .
  2. A integral dela em todo o domínio é igual a 1, ou seja:
Então, para cada função que vamos analisar, vamos verificar esses dois pontos.

Passo 3

Exemplo de Função 1:
Vamos supor que a primeira função seja:
f(x) = 2x & se 0 <= x <= 1 0 & caso contrário á
Verificando se é uma densidade de probabilidade:
  1. Não-negatividade:
    • Para integral0^1 2x , dx = 2 integral0^1 x , dx = 2 [ x^22 ]0^1 = 2 ( 12 - 0 ) = 1 , .
    • Fora desse intervalo, , que também é não-negativo.
  2. Integral igual a 1:
    • Calculamos a integral de de 0 a 1:
    • Portanto, a integral é igual a 1.
Então, é uma densidade de probabilidade.

Passo 4

Calculando o Valor Esperado para Função 1:
O valor esperado E = integral-infty^infty x f(x) dx é dado por:
E = integral0^1 x cdot 2x , dx = 2 integral0^1 x^2 , dx = 2 [ x^33 ]0^1 = 2 ( 13 - 0 ) = 23
Como fora de , basta calcular de 0 a 1:
Então, o valor esperado é .

Passo 5

Exemplo de Função 2:
Vamos agora supor uma segunda função:
f(x) = 12 & se -1 <= x <= 1 0 & caso contrário á
Verificando se é uma densidade de probabilidade:
  1. Não-negatividade:
    • Para integral-1^1 12 , dx = 12 cdot (1 - (-1)) = 12 cdot 2 = 1 , .
    • Fora desse intervalo, , que também é não-negativo.
  2. Integral igual a 1:
    • Calculamos a integral de de -1 a 1:
    • Portanto, a integral é igual a 1.
Assim, também é uma densidade de probabilidade.

Passo 6

Calculando o Valor Esperado para Função 2:
Usando a fórmula do valor esperado:
E = integral-infty^infty x f(x) dx
Como E = integral-1^1 x cdot 12 , dx = 12 integral-1^1 x , dx = 12 [ x^22 ]-1^1 = 12 ( 12 - 12 ) = 0 fora de , calculamos de -1 a 1:
Então, o valor esperado é 0.

Resposta

As funções apresentadas são densidades de probabilidade e seus valores esperados são:
  1. Para no intervalo :
    • Valor Esperado .
  2. Para no intervalo :
    • Valor Esperado .

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