Calcule aeguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral imprópria juntos! A questão pede para calcular a integral de no intervalo de 1 a 2. Para resolver isso, vamos usar o cálculo de integrais e substituição, além de verificar se a integral converge.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a integral. Observamos que temos dentro da raiz, então uma boa ideia é definir uma nova variável:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar em termos de . Diferenciando ambos os lados da equação:
Isso significa que:

Passo 4

Vamos agora mudar os limites da integral para a variável . Quando :
E quando :
Então, a integral original passa de:
Para:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral em termos de :
A integral de é , então:

Passo 6

Aplicando os limites de integração:
Como , fica:

Resposta

A integral converge e seu valor é:

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Mostre que as funções seguintes são densidades de probabilidades e encontre o valor esperado de cada densidade.
Use o critério da convergência para determinar se a integral é convergente ou divergente.
Mostre que as funções seguintes são densidades de probabilidades e encontre o valor esperado de cada densidade.
Associe cada série com seu valor, caso convergente. Caso contrário, mostre sua divergência.