Calcule aeguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes.
integral1^2 1x raizln (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral imprópria juntos! A questão pede para calcular a integral de no intervalo de 1 a 2. Para resolver isso, vamos usar o cálculo de integrais e substituição, além de verificar se a integral converge.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a integral. Observamos que temos u = ln(x) dentro da raiz, então uma boa ideia é definir uma nova variável:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du = 1x dx em termos de 1x dx = du . Diferenciando ambos os lados da equação:
Isso significa que:

Passo 4

Vamos agora mudar os limites da integral para a variável u = ln(1) = 0 . Quando u = ln(2) :
integral1^2 1x raizln(x) dx
E quando integral0^ln(2) 1raizu du :
Então, a integral original passa de:
Para:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral em termos de integral 1raizu du = integral u^-1/2 du :
integral u^-1/2 du = 2 raizu + C
A integral de é , então:

Passo 6

Aplicando os limites de integração:
2 raizu |0^ln(2) = 2 raizln(2) - 2 raiz0
Como 2 raizln(2) , fica:

Resposta

A integral converge e seu valor é:
2 raizln(2)

Exercícios relacionados