Associe as funções e dadas, com os mapas de contornos de (A) a (D).

(A)

(B)

©

(D)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para associar quatro funções e com quatro mapas de contorno identificados pelas letras (A) a (D). O conteúdo que vamos usar aqui é o de funções de duas variáveis e mapas de contorno. Para resolver, precisamos entender como cada função se comporta no plano e relacionar esses comportamentos com os mapas de contorno fornecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um mapa de contorno. Basicamente, ele é um gráfico que mostra as linhas onde a função assume valores constantes. É como um “perfil” da função no plano.

Passo 3

Vamos analisar cada função individualmente para entender seus comportamentos:

Função

  • Análise: O numerador é , o que significa que a função depende linearmente de . O denominador é sempre positivo, já que nunca será zero.
  • Comportamento: À medida que aumenta, a função diminui se for positivo e aumenta se for negativo. Os contornos provavelmente serão curvas que refletem essa relação linear com .

Fun�o

  • Análise: Aqui, temos um termo multiplicado por uma função exponencial que decresce rapidamente à medida que e aumentam.
  • Comportamento: A função terá valores próximos de zero longe da origem devido ao termo exponencial. Perto da origem, os contornos serão influenciados pelo produto , possivelmente formando hipérboles.

Função

  • Análise: Esta é a função que calcula o ângulo formado pelo ponto com o eixo . É conhecida como a coordenada angular na conversão para coordenadas polares.
  • Comportamento: Os contornos serão linhas onde o ângulo é constante, ou seja, raias que saem da origem em diferentes direções, representando ângulos iguais.

Função

  • Análise: A função seno depende da diferença . Isso cria uma onda que se propaga na direção onde é constante.
  • Comportamento: Os contornos serão linhas retas onde é constante, formando diagonais com padrões de ondas senoidais.

Passo 4

Agora, vamos associar essas análises com os mapas de contorno (A) a (D):
  • Função : Como os contornos são raias que representam ângulos constantes, provavelmente correspondem ao mapa que mostra linhas radiais saindo da origem. Vamos associar com o mapa ©.
  • Função : Os contornos são linhas diagonais com padrões de ondas, o que se encaixa bem com mapas que mostram ondas senoidais diagonais. Vamos associar com o mapa (D).
  • Função : Os contornos hiperbólicos perto da origem combinam com mapas que têm esse tipo de flexão central. Vamos associar com o mapa (B).
  • Função : Finalmente, os contornos que refletem a relação linear com correspondem ao mapa restante, que é o (A). Então, associamos com o mapa (A).

Resposta

  • está associado ao mapa (A)
  • está associado ao mapa (B)
  • está associado ao mapa ©
  • está associado ao mapa (D)

Exercícios relacionados

Conforme visto em aula, calcule:
Utilize a Série de Taylor para calcular o valor numérico de com precisão de 3 casas decimais. E faça uma comparação percentual com o valor padrão.
Seja . Verifique que .
Dada a função , determine e .
Dada a função :
Ache a derivada direcional de no ponto , na direção do vetor .