Associe as funções
e
dadas, com os mapas de contornos de (A) a (D).
(A)
(B)
©
(D)
(A)
(B)
©
(D)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para associar quatro funções
e
com quatro mapas de contorno identificados pelas letras (A) a (D). O conteúdo que vamos usar aqui é o de funções de duas variáveis e mapas de contorno. Para resolver, precisamos entender como cada função se comporta no plano
e relacionar esses comportamentos com os mapas de contorno fornecidos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um mapa de contorno. Basicamente, ele é um gráfico que mostra as linhas onde a função assume valores constantes. É como um “perfil” da função no plano.
Passo 3
Vamos analisar cada função individualmente para entender seus comportamentos:
Função
- Análise: O numerador é
, o que significa que a função depende linearmente de . O denominador é sempre positivo, já que nunca será zero. - Comportamento: À medida que
aumenta, a função diminui se for positivo e aumenta se for negativo. Os contornos provavelmente serão curvas que refletem essa relação linear com .
Fun�o
- Análise: Aqui, temos um termo
multiplicado por uma função exponencial que decresce rapidamente à medida que e aumentam. - Comportamento: A função terá valores próximos de zero longe da origem devido ao termo exponencial. Perto da origem, os contornos serão influenciados pelo produto
, possivelmente formando hipérboles.
Função
- Análise: Esta é a função que calcula o ângulo formado pelo ponto
com o eixo . É conhecida como a coordenada angular na conversão para coordenadas polares. - Comportamento: Os contornos serão linhas onde o ângulo é constante, ou seja, raias que saem da origem em diferentes direções, representando ângulos iguais.
Função
- Análise: A função seno depende da diferença
. Isso cria uma onda que se propaga na direção onde é constante. - Comportamento: Os contornos serão linhas retas onde
é constante, formando diagonais com padrões de ondas senoidais.
Passo 4
Agora, vamos associar essas análises com os mapas de contorno (A) a (D):
-
Função
: Como os contornos são raias que representam ângulos constantes, provavelmente correspondem ao mapa que mostra linhas radiais saindo da origem. Vamos associar com o mapa ©. -
Função
: Os contornos são linhas diagonais com padrões de ondas, o que se encaixa bem com mapas que mostram ondas senoidais diagonais. Vamos associar com o mapa (D). -
Função
: Os contornos hiperbólicos perto da origem combinam com mapas que têm esse tipo de flexão central. Vamos associar com o mapa (B). -
Função
: Finalmente, os contornos que refletem a relação linear com correspondem ao mapa restante, que é o (A). Então, associamos com o mapa (A).
Resposta
-
está associado ao mapa (A) -
está associado ao mapa (B) -
está associado ao mapa © -
está associado ao mapa (D)
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Conforme visto em aula, calcule:
Utilize a Série de Taylor para calcular o valor numérico de com precisão de 3 casas decimais. E faça uma comparação percentual com o valor padrão.
Utilize a Série de Taylor para calcular o valor numérico de
Seja
. Verifique que
.
Dada a função
, determine
e
.
Dada a função
:
Ache a derivada direcional de no ponto
, na direção do vetor
.
Ache a derivada direcional de