Dada a função :
Ache a derivada direcional de no ponto , na direção do vetor .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma função de três variáveis, , e queremos encontrar a derivada direcional dessa função no ponto na direção do vetor .
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivada direcional, que mede a taxa de variação da função na direção de um vetor específico. Para calcular a derivada direcional, vamos precisar:
  1. Encontrar o gradiente da função .
  2. Normalizar o vetor direção para obter um vetor unitário.
  3. Calcular o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário.

Passo 2

Vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de em relação a cada uma das variáveis. Ou seja,
Vamos encontrar cada derivada parcial:
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :
Portanto, o gradiente de é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto . Substituindo , e nas componentes do gradiente:
  • Primeira componente:
  • Segunda componente:
  • Terceira componente:
Portanto, o gradiente no ponto é:

Passo 4

Em seguida, precisamos normalizar o vetor direção para obter um vetor unitário. A normalização é necessária porque a derivada direcional é calculada na direção de um vetor de comprimento 1.
A fórmula para normalizar um vetor é:
Onde é o módulo do vetor, calculado por:
Então, o vetor unitário é:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada direcional usando a fórmula:
Onde representa o produto escalar. Substituindo os valores que já encontramos:
Calculando o produto escalar:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção do vetor é -3.

Exercícios relacionados

Dada a função , determine e .
Associe as funções e dadas, com os mapas de contornos de (A) a (D).

(A)

(B)

©

(D)
Dada a função :
Em que direção tem a máxima taxa de variação? Qual é a máxima taxa de variação?
Calcule as integrais a seguir: