Dada a função
:
Ache a derivada direcional de
no ponto
, na direção do vetor
.
Ache a derivada direcional de
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma função de três variáveis,
, e queremos encontrar a derivada direcional dessa função no ponto
na direção do vetor
.
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivada direcional, que mede a taxa de variação da função
na direção de um vetor específico. Para calcular a derivada direcional, vamos precisar:
- Encontrar o gradiente da função
. - Normalizar o vetor direção
para obter um vetor unitário. - Calcular o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário.
Passo 2
Vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de
em relação a cada uma das variáveis. Ou seja,
Vamos encontrar cada derivada parcial:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Portanto, o gradiente de
é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
. Substituindo
,
e
nas componentes do gradiente:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Portanto, o gradiente no ponto
é:
Passo 4
Em seguida, precisamos normalizar o vetor direção
para obter um vetor unitário. A normalização é necessária porque a derivada direcional é calculada na direção de um vetor de comprimento 1.
A fórmula para normalizar um vetor
é:
Onde
é o módulo do vetor, calculado por:
Então, o vetor unitário
é:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada direcional usando a fórmula:
Onde
representa o produto escalar. Substituindo os valores que já encontramos:
Calculando o produto escalar:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
é -3.
Exercícios relacionados
Dada a função
, determine
e
.
Associe as funções
e
dadas, com os mapas de contornos de (A) a (D).
(A)
(B)
©
(D)
(A)
(B)
©
(D)
Dada a função
:
Em que direção tem a máxima taxa de variação? Qual é a máxima taxa de variação?
Em que direção
Calcule as integrais a seguir: