Dada a função f(x, y)=x^2 arctg(yx), determine partial^2 fpartial x partial y(1,1) e partial^2 fpartial y^2(1,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta a função e pede para calcularmos duas derivadas parciais de segunda ordem: e . Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de derivadas parciais e como diferenciá-las passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de f(x, y) = x^2 arctan(yx) em relação a partial fpartial y = x^2 cdot 11 + (yx)^2 cdot 1x = x1 + (yx)^2 , ou seja, . Para isso, tratamos como uma constante e diferenciamos em relação a .
Temos:
Derivando em relação a :

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão da primeira derivada parcial que encontramos:
partial fpartial y = x1 + y^2x^2 = x^3x^2 + y^2
Então, temos:
partial fpartial y = x^3x^2 + y^2

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a segunda derivada parcial mista partial fpartial y = x^3x^2 + y^2 . Isso significa que vamos derivar partial^2 fpartial x partial y = (3x^2)(x^2 + y^2) - x^3(2x)(x^2 + y^2)^2 = 3x^4 + 3x^2y^2 - 2x^4(x^2 + y^2)^2 = x^4 + 3x^2y^2(x^2 + y^2)^2 em relação a .
Temos:
Aplicando a regra do quociente:

Passo 5

Agora, vamos avaliar partial^2 fpartial x partial y(1,1) = 1^4 + 3 cdot 1^2 cdot 1^2(1^2 + 1^2)^2 = 1 + 3(1 + 1)^2 = 44 = 1 no ponto (1,1).
Substituindo e :

Passo 6

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial em relação a partial fpartial y = x^3x^2 + y^2 , ou seja, partial^2 fpartial y^2 = 0 cdot (x^2 + y^2) - x^3 cdot 2y(x^2 + y^2)^2 = -2x^3y(x^2 + y^2)^2 . Para isso, vamos derivar novamente em relação a .
Temos:
Aplicando a regra do quociente:

Passo 7

Finalmente, vamos avaliar partial^2 fpartial y^2(1,1) = -2 cdot 1^3 cdot 1(1^2 + 1^2)^2 = -24 = -0,5 no ponto (1,1).
Substituindo e :

Resposta

partial^2 fpartial x partial y(1,1) = 1 e partial^2 fpartial y^2(1,1) = -0,5

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