Dada a função
, determine
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta a função
e pede para calcularmos duas derivadas parciais de segunda ordem:
e
. Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de derivadas parciais e como diferenciá-las passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, tratamos
como uma constante e diferenciamos em relação a
.
Temos:
Derivando em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão da primeira derivada parcial que encontramos:
Então, temos:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a segunda derivada parcial mista
. Isso significa que vamos derivar
em relação a
.
Temos:
Aplicando a regra do quociente:
Passo 5
Agora, vamos avaliar
no ponto (1,1).
Substituindo
e
:
Passo 6
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial em relação a
, ou seja,
. Para isso, vamos derivar
novamente em relação a
.
Temos:
Aplicando a regra do quociente:
Passo 7
Finalmente, vamos avaliar
no ponto (1,1).
Substituindo
e
: