Dada a função , determine e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta a função e pede para calcularmos duas derivadas parciais de segunda ordem: e . Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de derivadas parciais e como diferenciá-las passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, tratamos como uma constante e diferenciamos em relação a .
Temos:
Derivando em relação a :

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão da primeira derivada parcial que encontramos:
Então, temos:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a segunda derivada parcial mista . Isso significa que vamos derivar em relação a .
Temos:
Aplicando a regra do quociente:

Passo 5

Agora, vamos avaliar no ponto (1,1).
Substituindo e :

Passo 6

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial em relação a , ou seja, . Para isso, vamos derivar novamente em relação a .
Temos:
Aplicando a regra do quociente:

Passo 7

Finalmente, vamos avaliar no ponto (1,1).
Substituindo e :

Resposta

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Associe as funções e dadas, com os mapas de contornos de (A) a (D).

(A)

(B)

©

(D)
Conforme visto em aula, calcule:
Utilize a Série de Taylor para calcular o valor numérico de com precisão de 3 casas decimais. E faça uma comparação percentual com o valor padrão.
Dada a função :
Ache a derivada direcional de no ponto , na direção do vetor .
Dada a função :
Em que direção tem a máxima taxa de variação? Qual é a máxima taxa de variação?