Conforme visto em aula, calcule:
Utilize a Série de Taylor para calcular o valor numérico de com precisão de 3 casas decimais. E faça uma comparação percentual com o valor padrão.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o valor de usando a Série de Taylor com precisão de 3 casas decimais. A Série de Taylor é uma maneira de aproximar funções usando somas infinitas de termos calculados a partir das derivadas da função. Para isso, vamos precisar conhecer a fórmula da Série de Taylor para o cosseno e saber como aplicá-la passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a Série de Taylor para em torno de . A fórmula é:
Essa série alterna sinais e envolve potências pares de , divididas pelo fatorial do mesmo índice.
Passo 3
Agora, vamos substituir por na série:
Vamos calcular termo a termo até alcançarmos a precisão de 3 casas decimais.
Passo 4
Vamos calcular cada termo:
Termo 0:
Termo 1:
Termo 2:
Termo 3:
Neste ponto, a diferença entre os termos adicionados está abaixo de 0,001, então podemos parar.
Passo 5
Agora, vamos comparar com o valor padrão de , que sabemos ser .
Nossa aproximação deu .
Para achar a diferença percentual:
Resposta
Usando a Série de Taylor, calculamos com precisão de 3 casas decimais, apresentando uma diferença percentual de aproximadamente 0,0018% em relação ao valor padrão.