Seja z=x^2 yx^2+y^2. Verifique que x partial zpartial x+y partial zpartial y=z.
square

Passo 1

Vamos lá! A gente tem a função e precisamos verificar se . Isso envolve cálculo de derivadas parciais, que é uma parte da matéria de cálculo multivariável. Para resolver, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e a e depois substituir na expressão dada.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de partial zpartial x = (2x cdot y)(x^2 + y^2) - x^2 y cdot 2x(x^2 + y^2)^2 em relação a , ou seja, . Para isso, usamos a regra do quociente:

Passo 3

Simplificando essa expressão:
partial zpartial x = 2x y (x^2 + y^2) - 2x^3 y(x^2 + y^2)^2 = 2x y^3(x^2 + y^2)^2

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial zpartial y = (x^2 cdot 1)(x^2 + y^2) - x^2 y cdot 2y(x^2 + y^2)^2 em relação a , ou seja, . Novamente, usamos a regra do quociente:

Passo 5

Simplificando essa expressão:
partial zpartial y = x^2 (x^2 + y^2) - 2x^2 y^2(x^2 + y^2)^2 = x^4 + x^2 y^2 - 2x^2 y^2(x^2 + y^2)^2 = x^4 - x^2 y^2(x^2 + y^2)^2

Passo 6

Agora, vamos substituir x cdot 2x y^3(x^2 + y^2)^2 + y cdot x^4 - x^2 y^2(x^2 + y^2)^2 = 2x^2 y^3 + x^4 y - x^2 y^3(x^2 + y^2)^2 = x^4 + x^2 y^3(x^2 + y^2)^2 e na expressão :

Passo 7

Observando que x^4 + x^2 y^3(x^2 + y^2)^2 = x^2 y (x^2 + y^2)(x^2 + y^2)^2 = x^2 yx^2 + y^2 = z , podemos reescrever a expressão anterior:

Resposta

Conseguimos verificar que . A igualdade está correta!

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