Assuma que A e B sejam matrizes nxn com |A|=2 e |B|=-3. Ache os determinantes indicados.
(e) |A A^T|

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá duas matrizes quadradas e de ordem , com determinantes e . Precisamos encontrar o determinante de , onde é a transposta de . Para resolver isso, vamos usar propriedades de determinantes e matrizes transpostas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o determinante de um produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes das matrizes. Ou seja:
|A times A^T| = |A| times |A^T|
Essa propriedade é fundamental quando trabalhamos com determinantes de produtos de matrizes.

Passo 3

Agora, precisamos saber o que é o determinante de uma matriz transposta. A boa notícia é que o determinante da matriz transposta é igual ao determinante da matriz original. Formalmente:
|A^T| = |A|
Isso simplifica bastante nossa equação anterior.

Passo 4

Substituindo |A times A^T| = |A| times |A| = |A|^2 por na equação inicial, temos:
Então, o determinante de é o quadrado do determinante de .

Passo 5

Sabemos que |A times A^T| = 2^2 = 4 . Portanto:

Resposta

O determinante de é .

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