(Página 241 a 242) Em cada um dos problemas 5 a 8, determinar os vértices A1 e A2, os focos e excentricidade das elipses dadas. Esboçar o gráfico.
8) 9 x^2+25 y^2=25

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema 8 que pede para determinar os vértices e , os focos e a excentricidade da elipse dada pela equação . A gente vai usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre elipses, para chegar nas respostas.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a equação da elipse para a forma canônica. A forma geral de uma elipse é:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
No nosso caso, a equação é 9x^225 + 25y^225 = 1 Rightarrow x^2( 259 ) + y^21 = 1 . Vamos dividir todos os termos por 25 para simplificar:
x^2( 259 ) + y^21 = 1
Então, temos:

Passo 3

Agora, identificamos os valores de a^2 = 259 Rightarrow a = 53 e b^2 = 1 Rightarrow b = 1 . Na forma canônica da elipse:
  • é o semi-eixo maior
  • é o semi-eixo menor
Comparando com a nossa equação:

Passo 4

Os vértices da elipse são os pontos mais distantes do centro ao longo do eixo maior. Como A1 = ( -53, 0 ) e A2 = ( 53, 0 ) e está associado ao eixo , os vértices estão nas posições . Aqui, o centro é porque não há termos de translação na equação.
Portanto:

Passo 5

Para encontrar os focos, usamos a fórmula:
c = raiza^2 - b^2
Calculando:
c = raiz( 53 )^2 - 1^2 = raiz259 - 1 = raiz259 - 99 = raiz169 = 43
Os focos estão localizados em F1 = ( -43, 0 ) e F2 = ( 43, 0 ) :

Passo 6

A excentricidade e = ca da elipse é dada por:
e = 4353 = 45
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

Os vértices da elipse são e . Os focos estão em e . A excentricidade da elipse é . O gráfico da elipse será uma curva alongada no eixo com os vértices e focos indicados.

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