(Página 241 a 242) Em cada um dos problemas 5 a 8, determinar os vértices
e
, os focos e excentricidade das elipses dadas. Esboçar o gráfico.
8)
8)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema 8 que pede para determinar os vértices
e
, os focos e a excentricidade da elipse dada pela equação
. A gente vai usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre elipses, para chegar nas respostas.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a equação da elipse para a forma canônica. A forma geral de uma elipse é:
No nosso caso, a equação é
. Vamos dividir todos os termos por 25 para simplificar:
Então, temos:
Passo 3
Agora, identificamos os valores de
e
. Na forma canônica da elipse:
-
é o semi-eixo maior -
é o semi-eixo menor
Comparando com a nossa equação:
Passo 4
Os vértices da elipse são os pontos mais distantes do centro ao longo do eixo maior. Como
e
está associado ao eixo
, os vértices estão nas posições
. Aqui, o centro
é
porque não há termos de translação na equação.
Portanto:
Passo 5
Para encontrar os focos, usamos a fórmula:
Calculando:
Os focos estão localizados em
:
Passo 6
A excentricidade
da elipse é dada por:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
Os vértices da elipse são
e
. Os focos estão em
e
. A excentricidade da elipse é
. O gráfico da elipse será uma curva alongada no eixo
com os vértices e focos indicados.
Exercícios relacionados
Mostre que os subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais de
(conjunto das matrizes de ordem 2 com entradas reais):
formado por todas as matrizes simétricas
;
Determine os valores reais de
, em cada um dos casos, tais que o sistema linear dado tenha infinitas soluções:
Verifique se o conjunto V satisfaz cada uma das propriedades a seguir:
.
Assuma que
e
sejam matrizes nxn com
e
. Ache os determinantes indicados.
(e)
(e)