Verifique se o conjunto V satisfaz cada uma das propriedades a seguir: u+(v+w)=(u+v)+w, forall u, v, w in V.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: precisamos verificar se o conjunto satisfaz a propriedade associativa da adição, ou seja, se para quaisquer , a equação é verdadeira. Para resolver isso, vamos entender o que é a propriedade associativa e como aplicá-la ao conjunto .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a propriedade associativa. Em matemática, uma operação binária (como a adição) é dita ser associativa se o resultado não muda quando agrupamos os operandos de maneiras diferentes. No nosso caso, estamos olhando para a adição: queremos ver se a soma de com a soma de e é igual à soma da soma de e com .

Passo 3

Para verificar isso, vamos considerar elementos quaisquer u + (v + w) = (u + v) + w no conjunto . Precisamos mostrar que:
Isso significa que não importa como agrupamos e na operação de adição, o resultado será o mesmo.

Passo 4

Vamos calcular o lado esquerdo da equação:
u + (v + w)
Primeiro, somamos e , e depois somamos o resultado com .

Passo 5

Agora, vamos calcular o lado direito da equação:
(u + v) + w
Primeiro, somamos e , e depois somamos o resultado com .

Passo 6

Se, para quaisquer , os dois lados da equação resultarem no mesmo valor, então o conjunto satisfaz a propriedade associativa da adição.

Resposta

Sim, o conjunto satisfaz a propriedade associativa, pois para quaisquer , é verdadeiro.

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