Verifique se o conjunto V satisfaz cada uma das propriedades a seguir:
.
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: precisamos verificar se o conjunto
satisfaz a propriedade associativa da adição, ou seja, se para quaisquer
, a equação
é verdadeira. Para resolver isso, vamos entender o que é a propriedade associativa e como aplicá-la ao conjunto
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a propriedade associativa. Em matemática, uma operação binária (como a adição) é dita ser associativa se o resultado não muda quando agrupamos os operandos de maneiras diferentes. No nosso caso, estamos olhando para a adição: queremos ver se a soma de
com a soma de
e
é igual à soma da soma de
e
com
.
Passo 3
Para verificar isso, vamos considerar elementos quaisquer
no conjunto
. Precisamos mostrar que:
Isso significa que não importa como agrupamos
e
na operação de adição, o resultado será o mesmo.
Passo 4
Vamos calcular o lado esquerdo da equação:
Primeiro, somamos
e
, e depois somamos o resultado com
.
Passo 5
Agora, vamos calcular o lado direito da equação:
Primeiro, somamos
e
, e depois somamos o resultado com
.
Passo 6
Se, para quaisquer
, os dois lados da equação resultarem no mesmo valor, então o conjunto
satisfaz a propriedade associativa da adição.
Resposta
Sim, o conjunto
satisfaz a propriedade associativa, pois para quaisquer
,
é verdadeiro.