(Página 241 a 242 ) Em cada um dos problemas 5 a 8 , determinar os vértices A, e AZ, os focos e excentricidade das elipses dadas. Esboçar o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os vértices e , os focos e a excentricidade de uma elipse dada pela equação . Para isso, vamos usar a fórmula padrão da equação da elipse e entender cada parte dela.
Passo 2
Primeiro, precisamos colocar a equação da elipse na forma padrão. A forma padrão da equação de uma elipse centrada na origem é:
Vamos dividir todos os termos da equação original por 25 para igualar o lado direito a 1:
Simplificando, fica:
Assim, identificamos que:
Passo 3
Agora, sabemos que , o que significa que a elipse está mais estendida no eixo . Os vértices e estão localizados a uma distância do centro (que é a origem) ao longo do eixo . Então:
Passo 4
Para encontrar os focos, usamos a fórmula:
Calculando:
Então, os focos e estão a uma distância do centro ao longo do eixo :
Passo 5
A excentricidade da elipse é dada por:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
Os vértices da elipse são e . Os focos estão em e . A excentricidade da elipse é .