(Página 241 a 242 ) Em cada um dos problemas 5 a 8 , determinar os vértices A, e AZ, os focos e excentricidade das elipses dadas. Esboçar o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar os vértices e , os focos e a excentricidade da elipse dada pela equação . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica relacionados às elipses.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação da elipse na forma padrão. A forma padrão de uma elipse é:
Onde:
é o semi-eixo maior,
é o semi-eixo menor.
Para adaptar a equação para essa forma, dividimos todos os termos por 1:
Assim, temos:
Passo 3
Agora, identificamos os valores de e :
Como , sabemos que o semi-eixo maior está no eixo .
Passo 4
Os vértices da elipse são os pontos mais distantes do centro ao longo do eixo maior. Neste caso, os vértices estão nas posições:
Passo 5
Para encontrar os focos, usamos a fórmula:
Onde é a distância do centro aos focos.
Calculando:
Passo 6
Os focos estão localizados ao longo do eixo maior, então suas coordenadas são:
Passo 7
A excentricidade de uma elipse mede o quão alongada ela é e é calculada por:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 8
Para esboçar o gráfico da elipse:
Marque o centro na origem .
Plote os vértices e .
Plote os pontos nos extremos do eixo menor e .
Desenhe a elipse passando por esses pontos.
Marque os focos e .
Resposta
Os vértices da elipse são e , os focos estão em e , e a excentricidade da elipse é aproximadamente . O esboço do gráfico segue conforme descrito nos passos anteriores.