(Página 241 a 242 ) Em cada um dos problemas 5 a 8 , determinar os vértices A, e AZ, os focos e excentricidade das elipses dadas. Esboçar o gráfico.
4 x^wed>= z+25 y^wed>= z=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar os vértices e , os focos e a excentricidade da elipse dada pela equação . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica relacionados às elipses.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da elipse na forma padrão. A forma padrão de uma elipse é:
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
Onde:
  • x^214 + y^2125 = 1 é o semi-eixo maior,
  • x^2(0.5)^2 + y^2(0.2)^2 = 1 é o semi-eixo menor.
Para adaptar a equação para essa forma, dividimos todos os termos por 1:
Assim, temos:

Passo 3

Agora, identificamos os valores de a^2 = 0.25 Rightarrow a = 0.5 e b^2 = 0.04 Rightarrow b = 0.2 :
Como , sabemos que o semi-eixo maior está no eixo .

Passo 4

Os vértices da elipse são os pontos mais distantes do centro ao longo do eixo maior. Neste caso, os vértices estão nas posições:
A = (a, 0) = (0.5, 0)
A' = (-a, 0) = (-0.5, 0)

Passo 5

Para encontrar os focos, usamos a fórmula:
c^2 = a^2 - b^2
Onde c^2 = 0.25 - 0.04 = 0.21 Rightarrow c = raiz0.21 approx 0.458 é a distância do centro aos focos.
Calculando:

Passo 6

Os focos estão localizados ao longo do eixo maior, então suas coordenadas são:
F = (c, 0) approx (0.458, 0)
F' = (-c, 0) approx (-0.458, 0)

Passo 7

A excentricidade e = ca de uma elipse mede o quão alongada ela é e é calculada por:
e = 0.4580.5 approx 0.916
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 8

Para esboçar o gráfico da elipse:
  1. Marque o centro na origem .
  2. Plote os vértices e .
  3. Plote os pontos nos extremos do eixo menor e .
  4. Desenhe a elipse passando por esses pontos.
  5. Marque os focos e .

Resposta

Os vértices da elipse são e , os focos estão em e , e a excentricidade da elipse é aproximadamente . O esboço do gráfico segue conforme descrito nos passos anteriores.

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Assuma que A e B sejam matrizes nxn com |A|=2 e |B|=-3. Ache os determinantes indicados.
(e) |A A^T|
Verifique se o conjunto V satisfaz cada uma das propriedades a seguir: u+(v+w)=(u+v)+w, forall u, v, w in V.
(Página 241 a 242 ) Em cada um dos problemas 5 a 8 , determinar os vértices A, e AZ, os focos e excentricidade das elipses dadas. Esboçar o gráfico.
9 x^wed>= 2+25 y^wed>= z=25
Mostre que se |A|=0, então |A B|=0.