Assuma que um determinado computador requer 0,002 segundos para completar a substituição retroativa em um sistema triangular superior de . Estime o tempo necessário para resolver um sistema geral de 9000 equações com 9000 incógnitas. Arredonde sua resposta para o segundo mais próximo.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Aqui, estamos lidando com sistemas lineares e o tempo que um computador leva para resolvê-los usando substituição retroativa. A matéria envolvida é Álgebra Linear, especificamente a resolução de sistemas de equações lineares. Precisamos estimar quanto tempo o computador levará para resolver um sistema geral de 9000 equações com 9000 incógnitas, sabendo que ele leva 0,002 segundos para resolver um sistema triangular superior de 4000 × 4000.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um sistema triangular superior. Em matemática, um sistema triangular superior é aquele em que todas as entradas abaixo da diagonal principal são zero. Isso simplifica bastante a resolução das equações, porque podemos resolver as incógnitas de baixo para cima.
A substituição retroativa é o método usado para resolver esse tipo de sistema. A eficiência desse método, ou seja, o tempo que ele leva para resolver o sistema, depende do número de equações e incógnitas.
Passo 3
Vamos supor que o tempo necessário para resolver um sistema triangular superior cresce proporcionalmente ao número de equações. Isso significa que se dobrarmos o número de equações, o tempo também dobra.
Dado que o computador leva 0,002 segundos para resolver um sistema triangular superior de 4000 × 4000, podemos estabelecer uma relação de proporcionalidade direta para estimar o tempo para 9000 × 9000.
Passo 4
Usando a proporcionalidade direta:
Onde:
segundos (tempo para 4000 equações)
(número de equações)
(número de equações que queremos)
é o tempo que queremos descobrir.
Rearranjando a fórmula para encontrar :
Passo 5
Substituindo os valores conhecidos na equação:
Calculando a fração:
Então:
Resposta
O computador levará aproximadamente 0,0045 segundos para resolver um sistema geral de 9000 equações com 9000 incógnitas.