Seja:
A = ((5 2 1) (3 1 4) (1 1 3))
(a) Verificar se A satisfaz as condições para a existência da decomposição L U (sem pivotamento).
(b) Decompor A em L e U.
© Através da decomposição L U, calcular o determinante de A.
(d) Resolver o sistema A x = b1, onde b1 = (0, -7, -5) t.
(e) Resolver o sistema A x = b2, onde b2 = (1, 1, 5)^t.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. Temos uma matriz e precisamos:
a) Verificar se ela pode ser decomposta em e sem usar pivotamento.
b) Fazer essa decomposição e .
c) Usar essa decomposição para calcular o determinante de .
d) Resolver o sistema , onde .
e) Resolver o sistema , onde .
Para isso, vamos precisar entender sobre decomposição LU, que basicamente divide a matriz em duas matrizes: uma triangular inferior e uma triangular superior . Além disso, vamos usar essas matrizes para calcular o determinante e resolver sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a matriz pode ser decomposta em e sem pivotamento.
A matriz é:
Para que a decomposição LU exista sem pivotamento, os principais menores da matriz devem ser diferentes de zero. Ou seja:
  1. O elemento deve ser diferente de zero.
  2. O determinante da submatriz formada por deve ser diferente de zero.
  3. O determinante da matriz completa deve ser diferente de zero.
Vamos verificar isso:
  1. .
  2. Determinante da submatriz .
  3. Calcular o determinante de :
Como todos os critérios são atendidos, a matriz satisfaz as condições para a existência da decomposição sem pivotamento.

Passo 3

Agora, vamos decompor a matriz em e .
A decomposição LU assume que:
Onde é uma matriz triangular inferior com 1s na diagonal, e é uma matriz triangular superior.
Vamos escrever as matrizes e da seguinte forma:
Multiplicando e , igualamos aos elementos de :

[


]
Vamos igualar os elementos:
Para a segunda linha:
  1. =>
  2. => => =>
  3. => => =>
Para a terceira linha:
  1. =>
  2. => => => =>
  3. => => => => =>
Então, as matrizes e são:

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante de usando a decomposição .
Sabemos que:
Como é uma matriz triangular inferior com 1s na diagonal, .
é triangular superior, e seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
Portanto:

Passo 5

Vamos resolver o sistema , onde .
Usando a decomposição , temos:
Primeiro, resolvemos para :

[


]
Resolvendo:
  1. =>
  2. => => =>
Agora, resolvemos :

[


]
Resolvendo de cima para baixo:
  1. =>
Substituindo em 2:
Substituindo em 1:
Então, a solução é:

Passo 6

Agora, vamos resolver o sistema , onde .
Usando novamente :
Primeiro, resolvemos :

[


]
Resolvendo:
  1. =>
  2. => => =>
Agora, resolvemos :

[


]
Resolvendo de cima para baixo:
  1. =>
Substituindo em 2:
Substituindo em 1:
Então, a solução é:

Resposta

a) A matriz satisfaz as condições para a existência da decomposição sem pivotamento.
b) A decomposição de é:
c) O determinante de é .
d) A solução do sistema é:
e) A solução do sistema é:

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