Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. Temos uma matriz e precisamos:
a) Verificar se ela pode ser decomposta em e sem usar pivotamento.
b) Fazer essa decomposição e .
c) Usar essa decomposição para calcular o determinante de .
d) Resolver o sistema , onde .
e) Resolver o sistema , onde .
Para isso, vamos precisar entender sobre decomposição LU, que basicamente divide a matriz em duas matrizes: uma triangular inferior e uma triangular superior . Além disso, vamos usar essas matrizes para calcular o determinante e resolver sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a matriz pode ser decomposta em e sem pivotamento.
A matriz é:
Para que a decomposição LU exista sem pivotamento, os principais menores da matriz devem ser diferentes de zero. Ou seja:
O elemento deve ser diferente de zero.
O determinante da submatriz formada por deve ser diferente de zero.
O determinante da matriz completa deve ser diferente de zero.
Vamos verificar isso:
.
Determinante da submatriz .
Calcular o determinante de :
Como todos os critérios são atendidos, a matriz satisfaz as condições para a existência da decomposição sem pivotamento.
Passo 3
Agora, vamos decompor a matriz em e .
A decomposição LU assume que:
Onde é uma matriz triangular inferior com 1s na diagonal, e é uma matriz triangular superior.
Vamos escrever as matrizes e da seguinte forma:
Multiplicando e , igualamos aos elementos de :
[
]
Vamos igualar os elementos:
Para a segunda linha:
=>
=> => =>
=> => =>
Para a terceira linha:
=>
=> => => =>
=> => => => =>
Então, as matrizes e são:
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante de usando a decomposição .
Sabemos que:
Como é uma matriz triangular inferior com 1s na diagonal, .
Já é triangular superior, e seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
Portanto:
Passo 5
Vamos resolver o sistema , onde .
Usando a decomposição , temos:
Primeiro, resolvemos para :
[
]
Resolvendo:
=>
=> => =>
Agora, resolvemos :
[
]
Resolvendo de cima para baixo:
=>
Substituindo em 2:
Substituindo em 1:
Então, a solução é:
Passo 6
Agora, vamos resolver o sistema , onde .
Usando novamente :
Primeiro, resolvemos :
[
]
Resolvendo:
=>
=> => =>
Agora, resolvemos :
[
]
Resolvendo de cima para baixo:
=>
Substituindo em 2:
Substituindo em 1:
Então, a solução é:
Resposta
a) A matriz satisfaz as condições para a existência da decomposição sem pivotamento.