Resolva a equação integral
1+t+integral0^t sen 2(t-tau) y(tau) d tau=y(t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação integral:
Aqui, estamos trabalhando com equações integrais, que são equações onde a função desconhecida aparece dentro de uma integral. Para resolver isso, vamos usar a transformada de Laplace, uma ferramenta poderosa para resolver esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em todos os termos da equação. A transformada de Laplace de uma função Lf(t) = integral0^infty e^-st f(t) , dt é dada por:
Vamos aplicar isso a cada termo:
  • Para o termo integral, usamos a propriedade de convolução:

Passo 3

Substituindo todos na equação transformada:
1s + 1s^2 + 2s^2 + 4 Y(s) = Y(s)
Agora, queremos isolar 2s^2 + 4 Y(s) - Y(s) = -(1s + 1s^2) . Vamos mover o termo que contém para o lado esquerdo:

Passo 4

Fatorando Y(s) (2s^2 + 4 - 1) = -(1s + 1s^2) no lado esquerdo:
2 - (s^2 + 4)s^2 + 4 = -s^2 - 2s^2 + 4
Simplificando dentro do parêntese:
Y(s) (-s^2 - 2s^2 + 4) = -(1s + 1s^2)
Então:

Passo 5

Isolando Y(s) = -(1s + 1s^2)-s^2 - 2s^2 + 4 = 1s + 1s^2s^2 + 2s^2 + 4 = (1s + 1s^2) cdot s^2 + 4s^2 + 2 :
Y(s) = s^2 + 4s(s^2 + 2) + s^2 + 4s^2(s^2 + 2)
Simplificando:

Passo 6

Vamos decompor em frações parciais para facilitar a aplicação da transformada inversa:
Para o primeiro termo:
s^2 + 4s(s^2 + 2) = As + Bs + Cs^2 + 2
Resolvendo para s^2 + 4s^2(s^2 + 2) = Ds + Es^2 + Fs + Gs^2 + 2 e , encontramos que , e .
Para o segundo termo:
Resolvendo, encontramos que , , e .

Passo 7

Agora, reescrevemos Y(s) = 2 cdot 1s + ss^2 + 2 + 2 cdot 1s + 4 cdot 1s^2 + ss^2 + 2 com as frações parciais:
Y(s) = 4s + 4s^2 + 2ss^2 + 2
Simplificando:

Passo 8

Aplicamos a transformada inversa de Laplace para encontrar :

Resposta

Portanto, a solução da equação é:
y(t) = 4 + 4t + 2cos(raiz2, t)

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