Resolva a equação integral
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação integral:
Aqui, estamos trabalhando com equações integrais, que são equações onde a função desconhecida aparece dentro de uma integral. Para resolver isso, vamos usar a transformada de Laplace, uma ferramenta poderosa para resolver esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em todos os termos da equação. A transformada de Laplace de uma função
é dada por:
Vamos aplicar isso a cada termo:
-
-
- Para o termo integral, usamos a propriedade de convolução:
-
Passo 3
Substituindo todos na equação transformada:
Agora, queremos isolar
. Vamos mover o termo que contém
para o lado esquerdo:
Passo 4
Fatorando
no lado esquerdo:
Simplificando dentro do parêntese:
Então:
Passo 5
Isolando
:
Simplificando:
Passo 6
Vamos decompor em frações parciais para facilitar a aplicação da transformada inversa:
Para o primeiro termo:
Para o primeiro termo:
Resolvendo para
e
, encontramos que
,
e
.
Para o segundo termo:
Resolvendo, encontramos que
,
,
e
.
Passo 7
Agora, reescrevemos
com as frações parciais:
Simplificando:
Passo 8
Aplicamos a transformada inversa de Laplace para encontrar
:
Resposta
Portanto, a solução da equação é: