Aqui, estamos trabalhando com equações integrais, que são equações onde a função desconhecida aparece dentro de uma integral. Para resolver isso, vamos usar a transformada de Laplace, uma ferramenta poderosa para resolver esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em todos os termos da equação. A transformada de Laplace de uma função é dada por:
Vamos aplicar isso a cada termo:
Para o termo integral, usamos a propriedade de convolução:
Passo 3
Substituindo todos na equação transformada:
Agora, queremos isolar . Vamos mover o termo que contém para o lado esquerdo:
Passo 4
Fatorando no lado esquerdo:
Simplificando dentro do parêntese:
Então:
Passo 5
Isolando :
Simplificando:
Passo 6
Vamos decompor em frações parciais para facilitar a aplicação da transformada inversa:
Para o primeiro termo:
Resolvendo para e , encontramos que , e .
Para o segundo termo:
Resolvendo, encontramos que , , e .
Passo 7
Agora, reescrevemos com as frações parciais:
Simplificando:
Passo 8
Aplicamos a transformada inversa de Laplace para encontrar :